國中數學【2-2 最大公因數與最小公倍數】手帳塗鴉學習單 (教師引導與互動解答版

🧩 歡迎來到因倍數配對城堡！解鎖鋪磁磚、分禮盒與公車會合的超級秘法！

把長方形地板切成最大正方形磁磚，該找誰？兩班公車何時再次同時發車，該找誰？
本單元帶你掌握四大必勝王牌：「正方形磁磚與互質迷思」、「短除法大樓 vs 標準分解式找 GCD」、「L 型兜底網與三數求 LCM 大陷阱」，以及「解題指南針雙向秒殺法」！
每個小區塊（標題、手繪圖解、視覺鷹架、即時練習）均可點擊右上角 🔍 放大 獨立展開為滿版！

主題一

公因數、最大公因數 (GCD) 與互質的意義

🧱 鋪磁磚魔法：正方形磁磚邊長必須同時整除長與寬；若 (a, b) ＝ 1，代表兩數「互質」，不一定要是質數！

🧱 長 24、寬 18 的地板鋪滿最大正方形磁磚，邊長是 (24, 18) ＝ 6 cm！互質核心：(8, 9) ＝ 1，8 與 9 都是合數但互質！

鋪磁磚與互質視覺互動圖解

🧱 幾何磁磚鋪滿圖解 (長 24cm × 寬 18cm) 最大邊長 (24, 18) ＝ 6 cm

↔️ 長度 24 cm ( 24 ÷ 6 ＝ 4 格 )

↕️ 寬 18 cm ( 3 格 )

6

🎯 鋪滿總塊數＝橫鋪 4 塊 × 直鋪 3 塊＝ 12 塊

🏰 互質雙城堡吊橋 (Coprime)：唯一的共同密碼只有 1

城堡 8

合數 (2×2×2)

因數: 1, 2, 4, 8

1

唯一的公因數

城堡 9

合數 (3×3)

因數: 1, 3, 9

★ (8, 9) ＝ 1 ➔ 雖然都是合數，依然是「互質」好朋友！

👑 相鄰整數必互質秒殺牌： (14, 15) ＝ 1 (99, 100) ＝ 1

✍️ 即時練習區：最大公因數與互質暖身

① 寫出 (12, 16) ＝ 4

② 寫出 (15, 28) ＝ 1

③ 14 與 15 是否互質？是 ((14,15)=1)

④ 9 與 27 是否互質？否 ((9,27)=9)

⑤ 若 (a, 20) ＝ 1，且 10＜a＜15，則 a ＝ 11 或 13

⑥ 長 30、寬 20 的紙張，裁成最大正方形邊長為？ 10 公分

💡 教師引導小撇步：引導學童理解「互質不是指孤獨的質數，是指兩個人之間沒有共同的密碼（除了 1 以外沒有公因數）」。拿出 8 和 9 讓學生分別寫出因數，親眼看見交集只有 1！

主題二

求最大公因數的方法（短除法 vs 標準分解式找小次方）

🏢 電梯大樓與挑矮原則：短除法只乘左邊整排除數；標準分解式挑共同底數，次方選最小！

🏢 短除法電梯大樓：只乘垂直左側除數 2×2×3×3＝36，底下商 (2, 3) 互質停！標準分解式：底數挑共同，次方挑小的！

求 GCD 兩大武器視覺圖解

🏢 武器一【短除法電梯大樓】：只乘左側電梯除數底層互質立刻停梯

🛗 電梯井

2
2
3
3

相乘＝36

4F: 72   108
3F: 36    54
2F: 18    27
1F:  6     9

                      GF:  2     3
                      🛑 互質停梯
                    

★ (72, 108) ＝ 2 × 2 × 3 × 3 ＝ 36 （切勿乘到底層商 2 和 3！）

👑 武器二【矮個子挑選法】：挑共有底數，次方選最小

底數 2 擂台

2³ (高) vs 2² (矮)

✔ 選 2²

底數 3 擂台

3² (矮) vs 3⁴ (高)

✔ 選 3²

獨行俠 5 與 7

非共有（缺）

🗑️ 丟掉不選

★ (A, B) ＝ 2² × 3² ＝ 36

✍️ 即時練習區：求最大公因數實戰

① 用短除法求 (48, 72) ＝ 24

② 用短除法求 (36, 90) ＝ 18

③ (2²×3×5², 2³×3²×5) ＝ 2²×3×5 ＝ 60

④ (2⁴×3³×7, 2²×5×7²) ＝ 2²×7 ＝ 28

⑤ 求三數 (18, 24, 42) ＝ 6

⑥ (2³×3×7, 5²×11) ＝ 1 (互質)

💡 教師引導小撇步：口訣記憶法：「求大公因，要挑矮小！」請學生拿尺比對直行，兩邊都有的底數才圈起來，次方比較小的上面打勾，最後乘起來就是答案！

主題三

公倍數、最小公倍數 (LCM) 與短除法大陷阱

🚌 博愛收納箱與 L 型兜底網：標準分解式全都要、次方選大；三數短除法只要任兩數有公因數就繼續除！

🚌 標準分解式求 LCM 博愛全都要：[A, B]＝2³×3⁴×5×7！三數短除法魔鬼考點：三數除完換兩數，不能整除的照抄掉下來！

求 LCM 兩大絕招視覺圖解

🚌 絕招一【黃金 L 型兜底管道】：全圈相乘滑梯照抄掉下來

                      2 | 12    18    30

                      3 |  6     9    15

                      3 |  2     3    5(抄)

                          2     1     5 (兩兩互質)

★ 沿著 L 型管全部相乘： 2 × 3 × 3 × 2 × 1 × 5 ＝ 180

💎 絕招二【博愛收納寶箱】：出現過全收，挑高次方

👑 挑高
2³

👑 挑高
3⁴

📦 照收
5¹

📦 照收
7¹

[A, B] ＝ 2³ × 3⁴ × 5 × 7

⚖️ 宇宙守恆： A × B ＝ (A, B) × [A, B] （僅限兩數！）

✍️ 即時練習區：求最小公倍數實戰

① 求 [12, 16] ＝ 48

② 求 [15, 20] ＝ 60

③ [2²×3×5, 2×3²×7] ＝ 2²×3²×5×7

④ 求三數 [8, 12, 18] ＝ 72

⑤ 若兩數相乘為 240，最大公因數為 4，則最小公倍數為？ 60

⑥ 求兩互質數 [11, 13] ＝ 143 (11×13)

💡 教師引導小撇步：三數求最小公倍數是七年級最大痛點！特別叮嚀學生：「三個人除完，不要以為結束了！看有沒有兩個人可以除，落單被丟下的數字千萬記得原封不動搭電梯下樓照抄！」

主題四

生活情境應用題（分組分裝鋪磁磚 vs 巡邏排班發車會合）

🧭 解題指南針：切碎分割分裝求 GCD；未來時間輪流相遇求 LCM；餘數多的先扣、不足先補！

🧭 指南針分流法：左邊切碎分裝求最大公因數；右邊未來會合求最小公倍數！調味罐口訣：多的先扣除，不足的先補齊！

應用題型指南針與魔法罐圖解

🧭 十字路口雙向指南針：變小還是變大？

⬅️ 切碎・分裝 (變小)

求 ( 最大公因數 )

分糖果、鋪最大磁磚

➡️ 同時出發 (變大)

求 [ 最小公倍數 ]

公車會合、拼大正方體

🍯 餘數魔法調味罐：多先丟、缺先補

75 餘 3 (多3顆)
先丟掉 -3 ➔ 72

95 不足 1 (缺1顆)
先補齊 +1 ➔ 96

★ (72, 96) ＝ 24 ➔ 某數最大為 24！

✍️ 即時練習區：情境應用挑戰

① 鉛筆 60 枝、橡皮擦 45 個，平分給最多幾位學生？ 15 人

② 承上題，每人分得鉛筆幾枝、橡皮擦幾個？鉛筆4, 擦3

③ 紅線公車每 12 分鐘一班、綠線每 15 分鐘一班，下次同時發車相隔幾分？ 60 分鐘

④ 用長 6cm、寬 4cm、高 3cm 的積木，堆成最小正方體邊長為？ 12 公分

⑤ 某數除 50 餘 2，除 75 餘 3，則某數最大為？ 24 ((48,72))

⑥ 操場學生 100~150 人，每 8 人一列或每 12 人一列都不足 1 人，學生共幾人？ 119 或 143

💡 教師引導小撇步：題目長篇大論時，引導孩子畫出「指南針」符號：問自己『東西是分開變少？還是時間拉長變多？』變少直接寫 ( )，變多直接寫 [ ]，瞬間破除閱題障礙！

總結挑戰

因倍數大作戰：大魔王綜合闖關與反思

🎯 綜合 4 大主題：檢測你是否掌握了互質判定、短除法雙絕招、L型兜底網與應用題指南針！

🌟 闖關魔王題（四題檢定）

① 判斷 (24, 35) 是否互質？是 ((24,35)=1)

② 求 (2³×3²×5, 2²×3³×7) ＝ 2²×3² ＝ 36

③ 求三數最小公倍數 [10, 15, 20] ＝ 60

④ 長 72m、寬 48m 的長方形土地，分割成最大正方形，可得幾塊？ 6 塊 (3×2)

⭐ 我的學習信心星級評估

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📝 學習心得與自我提醒：

「我記住了：互質是指最大公因數為1，不一定要是質數！求最大公因數挑小次方，求最小公倍數挑大次方且全都要！三數短除法注意掉下來的數字！」

指導老師評語：短除法熟練，公因倍數應用題觀念清晰！簽名：吳老師

📐 國中數學 2-2【最大公因數與最小公倍數】塗鴉學習手帳