國中數學一下【3-1 比例式】手帳塗鴉筆記學習單
單元核心：比與比值、最簡整數比、微笑乘法、參數 r 法與生活應用 【學生自主探究版】
班級：＿＿＿＿ 座號：＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿
任務一
比與比值（認識前項、後項與調飲最簡比）
【核心任務情境】：夏日清涼特調配方大公開！
小明在飲品店打工調製招牌檸檬水，標準黃金配方為「檸檬原汁 120 毫升」加上「純水 300 毫升」。
(1) 檸檬原汁與純水的體積比是多少？其比值是多少？
(2) 怎樣將這個比化為「最簡整數比」？最簡整數比有什麼嚴格規定？
小明在飲品店打工調製招牌檸檬水，標準黃金配方為「檸檬原汁 120 毫升」加上「純水 300 毫升」。
(1) 檸檬原汁與純水的體積比是多少？其比值是多少？
(2) 怎樣將這個比化為「最簡整數比」？最簡整數比有什麼嚴格規定？
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調飲分裝法與比值大解密
💡 偵探白話筆記
破案思考三步驟
1
【認清前後兩項】：
比的符號記為「:」。寫在前面的數稱為 ，寫在後面的數稱為 。
「120 毫升檸檬汁 : 300 毫升水」記作 。前後順序絕對不可任意顛倒！
比的符號記為「:」。寫在前面的數稱為 ，寫在後面的數稱為 。
「120 毫升檸檬汁 : 300 毫升水」記作 。前後順序絕對不可任意顛倒！
2
【比值就是除法】：
比值 ＝ 。本題比值 ＝ 120 ÷ 300 ＝
⚠️ 破案紅線：比的後項絕對不能為 ！（因為除數不可為 0）。比值可以是整數、小數或分數。
比值 ＝ 。本題比值 ＝ 120 ÷ 300 ＝
120300
＝ 。⚠️ 破案紅線：比的後項絕對不能為 ！（因為除數不可為 0）。比值可以是整數、小數或分數。
3
【比的基本性質與最簡化】：
比的前項與後項同乘或同除以一個 的數，其比值維持不變！
同除以最大公因數 gcd(120, 300) ＝ 60 → 得到最簡整數比為 。
（最簡整數比要求前項與後項皆為整數，且兩數互為 ）
比的前項與後項同乘或同除以一個 的數，其比值維持不變！
同除以最大公因數 gcd(120, 300) ＝ 60 → 得到最簡整數比為 。
（最簡整數比要求前項與後項皆為整數，且兩數互為 ）
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【即時挑戰 1】：
(1) 爸爸調配粉刷油漆，用藍色油漆 450 毫升混入白色油漆 750 毫升：
• 藍漆與白漆的體積比為 。
• 化為最簡整數比為 ，其比值為 。
(2) 化簡下列各比為最簡整數比：
• 分數比：
• 小數比：1.2 : 0.45 ＝ 同乘 100 ＝ 120 : 45 ＝ 同除以 15 ＝ 。
(3) 若甲 : 乙 ＝ 4 : 9，則下列敘述何者正確？答案：【】
Ⓐ 甲是乙的
(1) 爸爸調配粉刷油漆，用藍色油漆 450 毫升混入白色油漆 750 毫升：
• 藍漆與白漆的體積比為 。
• 化為最簡整數比為 ，其比值為 。
(2) 化簡下列各比為最簡整數比：
• 分數比：
23
: 45
＝ 同乘 15 ＝ ＝ 。• 小數比：1.2 : 0.45 ＝ 同乘 100 ＝ 120 : 45 ＝ 同除以 15 ＝ 。
(3) 若甲 : 乙 ＝ 4 : 9，則下列敘述何者正確？答案：【】
Ⓐ 甲是乙的
94
倍 Ⓑ 甲是乙的 49
倍 Ⓒ 乙是甲的 49
倍
【偵探提示】：
• 前項與後項：寫在冒號前面的是前項，後面的是後項，前後順序千萬不能顛倒！
• 比值算式：比值 ＝ 前項 ÷ 後項。記得化為最簡分數或整數喔！
• 最簡整數比：分數比先通分乘分母公倍數，小數比先乘 10 或 100，再約分到兩數互質。
• 前項與後項：寫在冒號前面的是前項，後面的是後項，前後順序千萬不能顛倒！
• 比值算式：比值 ＝ 前項 ÷ 後項。記得化為最簡分數或整數喔！
• 最簡整數比：分數比先通分乘分母公倍數，小數比先乘 10 或 100，再約分到兩數互質。
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任務二
比例式黃金定理——微笑乘法（外項乘積＝內項乘積）
【核心任務情境】：比例天平的平衡密碼！
古代天平兩端各放著一組比。當兩個比相等時，寫作 a : b ＝ c : d，這稱為「比例式」。
探究挑戰：若 (x ＋ 3) : 6 ＝ 5 : 2，請問天平兩端的 x 究竟是多少？如何利用幾何笑臉連線秒殺破案？
古代天平兩端各放著一組比。當兩個比相等時，寫作 a : b ＝ c : d，這稱為「比例式」。
探究挑戰：若 (x ＋ 3) : 6 ＝ 5 : 2，請問天平兩端的 x 究竟是多少？如何利用幾何笑臉連線秒殺破案？
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微笑乘法：內外項笑臉連線
💡 偵探白話筆記
黃金方程式推導
1
【連出微笑曲線】：
在比例式 a : b ＝ c : d 中：
位在最外側兩端的 a 與 d 稱為 ；位在中間內側的 b 與 c 稱為 。
在比例式 a : b ＝ c : d 中：
位在最外側兩端的 a 與 d 稱為 ；位在中間內側的 b 與 c 稱為 。
2
【黃金定理：外項乘積 ＝ 內項乘積】：
因為兩邊比值相等：
立即獲得秒殺公式：！（外乘外 ＝ 內乘內）
因為兩邊比值相等：
ab
＝ cd
，等號兩邊交叉相乘同乘 bd：立即獲得秒殺公式：！（外乘外 ＝ 內乘內）
3
【安全帽口訣（括號不能漏）】：
遇到多項式如 (x ＋ 3)，一定要先戴上安全帽加 ！
外項乘積：2 × (x ＋ 3)；內項乘積：6 × 5 ＝ 30。
列出方程式： → 分配律展開： → 2x ＝ 24 → x ＝ 。
遇到多項式如 (x ＋ 3)，一定要先戴上安全帽加 ！
外項乘積：2 × (x ＋ 3)；內項乘積：6 × 5 ＝ 30。
列出方程式： → 分配律展開： → 2x ＝ 24 → x ＝ 。
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【即時挑戰 2】：
(1) 解下列各比例式中的 x：
• ① 3 : 8 ＝ x : 24 → 8x ＝ 3 × 24 ＝ 72 → x ＝ 。
• ② (2x － 1) : 5 ＝ (x ＋ 2) : 4
列式：4(2x － 1) ＝ 5(x ＋ 2) → 8x － 4 ＝ 5x ＋ 10 → 3x ＝ 14 → x ＝ 。
(2) 若 (x ＋ y) : (x － y) ＝ 7 : 3，且 xy ≠ 0，求 x : y 的最簡整數比：
微笑展開：3(x ＋ y) ＝ 7(x － y) → 3x ＋ 3y ＝ 7x － 7y → 4x ＝ 10y → x : y ＝ 。
(1) 解下列各比例式中的 x：
• ① 3 : 8 ＝ x : 24 → 8x ＝ 3 × 24 ＝ 72 → x ＝ 。
• ② (2x － 1) : 5 ＝ (x ＋ 2) : 4
列式：4(2x － 1) ＝ 5(x ＋ 2) → 8x － 4 ＝ 5x ＋ 10 → 3x ＝ 14 → x ＝ 。
(2) 若 (x ＋ y) : (x － y) ＝ 7 : 3，且 xy ≠ 0，求 x : y 的最簡整數比：
微笑展開：3(x ＋ y) ＝ 7(x － y) → 3x ＋ 3y ＝ 7x － 7y → 4x ＝ 10y → x : y ＝ 。
【偵探提示】：
• 黃金公式：外項乘積 ＝ 內項乘積（微笑乘法）。
• 戴安全帽提醒：看到含有 ＋、－ 的多項式（如 x＋3、2x－1），一定要先加括號再乘進去！
• 天平驗算：算出的答案代回題目，兩邊比值一樣就代表完全破案！
• 黃金公式：外項乘積 ＝ 內項乘積（微笑乘法）。
• 戴安全帽提醒：看到含有 ＋、－ 的多項式（如 x＋3、2x－1），一定要先加括號再乘進去！
• 天平驗算：算出的答案代回題目，兩邊比值一樣就代表完全破案！
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任務三
參數 r 法與係數大對調（蹺蹺板與神秘種子）
【核心任務情境】：神秘種子 r 的縮放魔法！
在數學實驗室中，若看到等式 4x ＝ 7y（xy ≠ 0），許多同學直覺會以為 x : y ＝ 4 : 7，這樣對嗎？
探究挑戰：(1) 究竟 x : y 的真實比與比值是多少？ (2) 若 3x － 2y ＝ 26，如何利用參數 r 算出 x 與 y？ (3) 代數式 (3x ＋ 2y) : (5x － 4y) 的比值又是多少？
在數學實驗室中，若看到等式 4x ＝ 7y（xy ≠ 0），許多同學直覺會以為 x : y ＝ 4 : 7，這樣對嗎？
探究挑戰：(1) 究竟 x : y 的真實比與比值是多少？ (2) 若 3x － 2y ＝ 26，如何利用參數 r 算出 x 與 y？ (3) 代數式 (3x ＋ 2y) : (5x － 4y) 的比值又是多少？
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神秘種子 r 的盆栽縮放法
💡 偵探白話筆記
破案觀念三部曲
1
【係數大對調（蹺蹺板原理）】：
看到 4x ＝ 7y 時，根據內項積＝外項積檢驗，x 必須配 4 放在外端：
因此 x : y ＝ ！（係數必須互相 ，千萬不要順著寫成 4 : 7）。
看到 4x ＝ 7y 時，根據內項積＝外項積檢驗，x 必須配 4 放在外端：
因此 x : y ＝ ！（係數必須互相 ，千萬不要順著寫成 4 : 7）。
2
【召喚神秘種子 r（參數化）】：
比只代表「倍率」，不代表實際數量！
令 x ＝ ，y ＝ ，其中必註記 。
種子 r 就是共通的縮放倍數，代入方程式即可化為一元一次方程式求解！
比只代表「倍率」，不代表實際數量！
令 x ＝ ，y ＝ ，其中必註記 。
種子 r 就是共通的縮放倍數，代入方程式即可化為一元一次方程式求解！
3
【代數式消消樂（r 約分帥氣退場）】：
求 (3x ＋ 2y) : (5x － 4y) 的比值：
前項 ＝ 3(7r) ＋ 2(4r) ＝ 21r ＋ 8r ＝ 。
後項 ＝ 5(7r) － 4(4r) ＝ 35r － 16r ＝ 。
比值 ＝
求 (3x ＋ 2y) : (5x － 4y) 的比值：
前項 ＝ 3(7r) ＋ 2(4r) ＝ 21r ＋ 8r ＝ 。
後項 ＝ 5(7r) － 4(4r) ＝ 35r － 16r ＝ 。
比值 ＝
29r19r
＝ （r 完全約分消掉，比值為確定常數）。
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【即時挑戰 3】：
(1) 若 5a ＝ 3b 且 ab ≠ 0，則 a : b ＝ ，其比值為 。
(2) 已知 x : y ＝ 3 : 5，且 2x ＋ 3y ＝ 42：
• 設 x ＝ 3r，y ＝ 5r (r ≠ 0)。
• 代入求 r：2(3r) ＋ 3(5r) ＝ 6r ＋ 15r ＝ 21r ＝ 42 → r ＝ 。
• 得實際數值：x ＝ ，y ＝ 。
(3) 若 x : y ＝ 2 : 3，則 (x² ＋ y²) : (xy) 的比值為多少？
設 x ＝ 2r, y ＝ 3r → 前項 (2r)² ＋ (3r)² ＝ 4r² ＋ 9r² ＝ 13r²；後項 (2r)(3r) ＝ 6r²。
比值為
(1) 若 5a ＝ 3b 且 ab ≠ 0，則 a : b ＝ ，其比值為 。
(2) 已知 x : y ＝ 3 : 5，且 2x ＋ 3y ＝ 42：
• 設 x ＝ 3r，y ＝ 5r (r ≠ 0)。
• 代入求 r：2(3r) ＋ 3(5r) ＝ 6r ＋ 15r ＝ 21r ＝ 42 → r ＝ 。
• 得實際數值：x ＝ ，y ＝ 。
(3) 若 x : y ＝ 2 : 3，則 (x² ＋ y²) : (xy) 的比值為多少？
設 x ＝ 2r, y ＝ 3r → 前項 (2r)² ＋ (3r)² ＝ 4r² ＋ 9r² ＝ 13r²；後項 (2r)(3r) ＝ 6r²。
比值為
13r²6r²
＝ 。
【偵探提示】：
• 係數大對調：4x ＝ 7y 時，x : y ＝ 7 : 4，千萬不要順著寫成 4 : 7 喔！
• 神秘種子 r：設 x ＝ 7r，y ＝ 4r (r ≠ 0)。代入算式中，r 會神奇地消掉。
• 求實際數值：題目若有總和或差的方程式，先解出 r 的數值，再乘回去求出 x 和 y。
• 係數大對調：4x ＝ 7y 時，x : y ＝ 7 : 4，千萬不要順著寫成 4 : 7 喔！
• 神秘種子 r：設 x ＝ 7r，y ＝ 4r (r ≠ 0)。代入算式中，r 會神奇地消掉。
• 求實際數值：題目若有總和或差的方程式，先解出 r 的數值，再乘回去求出 x 和 y。
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任務四
生活比例式實戰（破關 4 步驟與按比分配）
【核心任務情境】：校園男女生比例大風吹！
某中學七年級全體同學中，原本男女生人數比為 5 : 4。
學期中途轉入了 3 位男同學，同時轉出了 2 位女同學，此時男女生人數比變成了 4 : 3。
探究挑戰：請問原本七年級男生與女生各有多少人？全校七年級原本共有多少人？
某中學七年級全體同學中，原本男女生人數比為 5 : 4。
學期中途轉入了 3 位男同學，同時轉出了 2 位女同學，此時男女生人數比變成了 4 : 3。
探究挑戰：請問原本七年級男生與女生各有多少人？全校七年級原本共有多少人？
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應用問題破關 4 步驟尋寶地圖
💡 偵探白話筆記
破案 4 步驟 SOP
1
【步驟一：設未知數（參數 r 法）】：
原男女比為 5 : 4，設原本男生有 人，女生有 人（r 為正整數）。
原男女比為 5 : 4，設原本男生有 人，女生有 人（r 為正整數）。
2
【步驟二：依題意列出新比例式】：
男生轉入 3 人變成 (5r ＋ 3)；女生轉出 2 人變成 (4r － 2)。
新比例式：。
男生轉入 3 人變成 (5r ＋ 3)；女生轉出 2 人變成 (4r － 2)。
新比例式：。
3
【步驟三：微笑乘法解 r】：
外乘外 ＝ 內乘內：
展開移項：15r ＋ 9 ＝ 16r － 8 → 16r － 15r ＝ 9 ＋ 8 → r ＝ 。
外乘外 ＝ 內乘內：
展開移項：15r ＋ 9 ＝ 16r － 8 → 16r － 15r ＝ 9 ＋ 8 → r ＝ 。
4
【步驟四：答題與黃金寶箱驗算】：
原本男生：5 × 17 ＝ 人；原本女生：4 × 17 ＝ 人。
全級總人數：85 ＋ 68 ＝ 人。
驗算：(85＋3) : (68－2) ＝ 88 : 66 ＝ 4 : 3，完全吻合！
原本男生：5 × 17 ＝ 人；原本女生：4 × 17 ＝ 人。
全級總人數：85 ＋ 68 ＝ 人。
驗算：(85＋3) : (68－2) ＝ 88 : 66 ＝ 4 : 3，完全吻合！
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【即時挑戰 4】：
(1) 【按比分配】：兄弟兩人依 3 : 5 的比例瓜分競賽獎金 24000 元，則：
• 總共分為 3＋5 ＝ 8 等份。
• 哥哥分得 24000 ×
(2) 【地圖比例尺】：在地圖比例尺為 1 : 50000 的地圖上，測得兩地相距 6 公分：
實際距離 ＝ 6 × 50000 ＝ 300000 公分 ＝ 3000 公尺 ＝ 公里。
(3) （會考素養題）阿榮包水餃，鮮肉餡與高麗菜餡的重量比為 3 : 2。若今天準備了鮮肉餡 18 台斤且全部用完：
• 設需高麗菜餡 y 台斤 → 3 : 2 ＝ 18 : y → 3y ＝ 36 → y ＝ 台斤。
• 總共調配出的水餃餡料重為 18 ＋ 12 ＝ 台斤。
(1) 【按比分配】：兄弟兩人依 3 : 5 的比例瓜分競賽獎金 24000 元，則：
• 總共分為 3＋5 ＝ 8 等份。
• 哥哥分得 24000 ×
38
＝ 元；弟弟分得 24000 × 58
＝ 元。(2) 【地圖比例尺】：在地圖比例尺為 1 : 50000 的地圖上，測得兩地相距 6 公分：
實際距離 ＝ 6 × 50000 ＝ 300000 公分 ＝ 3000 公尺 ＝ 公里。
(3) （會考素養題）阿榮包水餃，鮮肉餡與高麗菜餡的重量比為 3 : 2。若今天準備了鮮肉餡 18 台斤且全部用完：
• 設需高麗菜餡 y 台斤 → 3 : 2 ＝ 18 : y → 3y ＝ 36 → y ＝ 台斤。
• 總共調配出的水餃餡料重為 18 ＋ 12 ＝ 台斤。
【偵探提示】：
• 尋寶 4 步驟：① 設未知數 (r) ② 依題意列比例式 ③ 微笑乘法求 r ④ 驗算寫答。
• 按比分配技巧：3 : 5 代表全部切成 3＋5＝8 等份，一份一份算最清楚！
• 地圖比例尺注意：比例尺是「圖上距離 : 實際距離」，公分換算成公里時要小心小數點位置！
• 尋寶 4 步驟：① 設未知數 (r) ② 依題意列比例式 ③ 微笑乘法求 r ④ 驗算寫答。
• 按比分配技巧：3 : 5 代表全部切成 3＋5＝8 等份，一份一份算最清楚！
• 地圖比例尺注意：比例尺是「圖上距離 : 實際距離」，公分換算成公里時要小心小數點位置！