國中數學一下【3-2 正比與反比】手帳塗鴉筆記學習單
單元核心：正比意義與關係式、反比意義與關係式、對照判別與會考生活應用 【學生自主探究版】
班級：＿＿＿＿ 座號：＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿
任務一
正比的意義與關係式（好朋友一起變大：y ＝ kx）
【核心任務情境】：夏日珍奶好朋友，同進同退一起變大！
手搖飲店一杯招牌黑糖珍珠奶茶售價 50 元。小明幫全班代購，買了 x 杯，結帳總金額為 y 元。
(1) x 與 y 的對應關係為何？為什麼說 y 與 x「成正比」？
(2) 寫出 x 與 y 的關係式，並求當買了 7 杯珍奶時，需付多少元？
(3) 若結帳金額為 600 元，小明共買了幾杯珍奶？
手搖飲店一杯招牌黑糖珍珠奶茶售價 50 元。小明幫全班代購，買了 x 杯，結帳總金額為 y 元。
(1) x 與 y 的對應關係為何？為什麼說 y 與 x「成正比」？
(2) 寫出 x 與 y 的關係式，並求當買了 7 杯珍奶時，需付多少元？
(3) 若結帳金額為 600 元，小明共買了幾杯珍奶？
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珍奶同進同退與正比倍數固定
💡 偵探白話筆記
正比破案三步驟
1
【觀察同進同退現象】：
買 1 杯 50 元、買 2 杯 100 元、買 3 杯 150 元。
當杯數 x 變為 2 倍、3 倍時，總金額 y 也跟著變為 倍、 倍！
買 1 杯 50 元、買 2 杯 100 元、買 3 杯 150 元。
當杯數 x 變為 2 倍、3 倍時，總金額 y 也跟著變為 倍、 倍！
2
【正比的數學定義（相除固定）】：
當兩變數 x、y 滿足「比值永遠固定」（
此時我們稱「y 與 x 」！
當兩變數 x、y 滿足「比值永遠固定」（
yx
＝ k），就稱為 。此時我們稱「y 與 x 」！
3
【黃金關係式 y ＝ kx】：
改寫成乘法形式：（k 稱為 ，k ≠ 0）。
本題中 k ＝ （每杯單價），關係式為 。
• 當 x ＝ 7 時，y ＝ 50 × 7 ＝ 元。
• 當 y ＝ 600 時，600 ＝ 50x → x ＝ 杯。
改寫成乘法形式：（k 稱為 ，k ≠ 0）。
本題中 k ＝ （每杯單價），關係式為 。
• 當 x ＝ 7 時，y ＝ 50 × 7 ＝ 元。
• 當 y ＝ 600 時，600 ＝ 50x → x ＝ 杯。
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【即時挑戰 1】：
(1) 判斷下列各敘述中，y 是否與 x 成正比（填「是」或「否」）：
• 圓的半徑為 x，圓周長為 y（y ＝ 2πx）：【】
• 爸爸 40 歲，小華 x 歲，兩人的年齡差為 y 歲（y ＝ 40－x）：【】
• 正方形的邊長為 x，面積為 y（y ＝ x²）：【】
• 購買每顆 15 元茶葉蛋 x 顆，總花費 y 元（y ＝ 15x）：【】
(2) 已知 y 與 x 成正比，且當 x ＝ 4 時，y ＝ 28：
• ① 比例常數 k ＝ 28 ÷ 4 ＝ ，關係式為 。
• ② 當 x ＝ －5 時，y ＝ 7 × (－5) ＝ 。
• ③ 當 y ＝ 84 時，84 ＝ 7x → x ＝ 。
(1) 判斷下列各敘述中，y 是否與 x 成正比（填「是」或「否」）：
• 圓的半徑為 x，圓周長為 y（y ＝ 2πx）：【】
• 爸爸 40 歲，小華 x 歲，兩人的年齡差為 y 歲（y ＝ 40－x）：【】
• 正方形的邊長為 x，面積為 y（y ＝ x²）：【】
• 購買每顆 15 元茶葉蛋 x 顆，總花費 y 元（y ＝ 15x）：【】
(2) 已知 y 與 x 成正比，且當 x ＝ 4 時，y ＝ 28：
• ① 比例常數 k ＝ 28 ÷ 4 ＝ ，關係式為 。
• ② 當 x ＝ －5 時，y ＝ 7 × (－5) ＝ 。
• ③ 當 y ＝ 84 時，84 ＝ 7x → x ＝ 。
【偵探提示】：
• 正比通關密碼：y ＝ kx，兩數相除固定（y ÷ x ＝ k）！
• 防呆照妖鏡：一起變大不一定是正比喔！算算看兩者相除有沒有永遠是同一個數字。
• 解題三部曲：① 設 y ＝ kx ② 代入已知數字算出 k ③ 得到關係式秒殺新問題！
• 正比通關密碼：y ＝ kx，兩數相除固定（y ÷ x ＝ k）！
• 防呆照妖鏡：一起變大不一定是正比喔！算算看兩者相除有沒有永遠是同一個數字。
• 解題三部曲：① 設 y ＝ kx ② 代入已知數字算出 k ③ 得到關係式秒殺新問題！
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任務二
反比的意義與關係式（相乘固定、扭蛋機密碼：x × y ＝ k）
【核心任務情境】：反比扭蛋機的神秘數字密碼！
數學實驗室有一台神奇扭蛋機，投入兩個代幣 x 與 y，扭出來的膠囊總量相乘永遠固定！
已知 y 與 x 成反比，且當 x ＝ －3 時，y ＝ 10。
(1) 求 x 與 y 的反比通關密碼（關係式）？
(2) 當 y 變成 －12 時，扭蛋機頂端的代幣 x 是多少？
數學實驗室有一台神奇扭蛋機，投入兩個代幣 x 與 y，扭出來的膠囊總量相乘永遠固定！
已知 y 與 x 成反比，且當 x ＝ －3 時，y ＝ 10。
(1) 求 x 與 y 的反比通關密碼（關係式）？
(2) 當 y 變成 －12 時，扭蛋機頂端的代幣 x 是多少？
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相乘固定總量的反比扭蛋機
💡 偵探白話筆記
反比破案三步驟
1
【看懂此消彼長現象】：
成反比時，當 x 擴大為 2 倍、3 倍時，y 反而縮小為 倍、 倍！
就像分糖果，吃的人越多，每個人分到的就越少。
成反比時，當 x 擴大為 2 倍、3 倍時，y 反而縮小為 倍、 倍！
就像分糖果，吃的人越多，每個人分到的就越少。
2
【反比的數學定義（相乘固定）】：
當兩變數 x、y 滿足「相乘永遠等於同一個神秘常數」，即 。
此時我們稱「y 與 x 」！數學長相記作：（k ≠ 0）。
當兩變數 x、y 滿足「相乘永遠等於同一個神秘常數」，即 。
此時我們稱「y 與 x 」！數學長相記作：（k ≠ 0）。
3
【解鎖扭蛋機密碼】：
① 找神秘常數 k：代入 x ＝ －3，y ＝ 10 → k ＝ (－3) × 10 ＝ 。
② 關係式為：（或 y ＝ －30/x）。
③ 當 y ＝ －12 時，x × (－12) ＝ －30 → x ＝
① 找神秘常數 k：代入 x ＝ －3，y ＝ 10 → k ＝ (－3) × 10 ＝ 。
② 關係式為：（或 y ＝ －30/x）。
③ 當 y ＝ －12 時，x × (－12) ＝ －30 → x ＝
－30－12
＝ （即 2.5）。
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【即時挑戰 2】：
(1) 判斷下列各敘述中，y 是否與 x 成反比（填「是」或「否」）：
• 長方形面積固定為 36，長為 x，寬為 y（xy ＝ 36）：【】
• 總共有 100 顆糖果，平分給 x 個人，每人得 y 顆（xy ＝ 100）：【】
• 繩長 50 公尺，剪去 x 公尺，剩下 y 公尺（x ＋ y ＝ 50）：【】
(2) 已知 y 與 x 成反比，且當 x ＝ 6 時，y ＝ 8：
• ① 神秘常數 k ＝ 6 × 8 ＝ ，關係式為 。
• ② 當 x ＝ －16 時，(－16) × y ＝ 48 → y ＝ 。
• ③ 當 y ＝ 12 時，x × 12 ＝ 48 → x ＝ 。
(1) 判斷下列各敘述中，y 是否與 x 成反比（填「是」或「否」）：
• 長方形面積固定為 36，長為 x，寬為 y（xy ＝ 36）：【】
• 總共有 100 顆糖果，平分給 x 個人，每人得 y 顆（xy ＝ 100）：【】
• 繩長 50 公尺，剪去 x 公尺，剩下 y 公尺（x ＋ y ＝ 50）：【】
(2) 已知 y 與 x 成反比，且當 x ＝ 6 時，y ＝ 8：
• ① 神秘常數 k ＝ 6 × 8 ＝ ，關係式為 。
• ② 當 x ＝ －16 時，(－16) × y ＝ 48 → y ＝ 。
• ③ 當 y ＝ 12 時，x × 12 ＝ 48 → x ＝ 。
【偵探提示】：
• 反比通關密碼：xy ＝ k，兩數相乘固定！一個變大，另一個就縮小。
• 解題三部曲：① 先把 x 和 y 乘起來抓出神秘數字 k ② 列出方程式 xy ＝ k ③ 代入新數值輕鬆算！
• 陷阱提醒：加起來固定（如 x＋y＝50）不是反比喔！一定要相乘固定才算。
• 反比通關密碼：xy ＝ k，兩數相乘固定！一個變大，另一個就縮小。
• 解題三部曲：① 先把 x 和 y 乘起來抓出神秘數字 k ② 列出方程式 xy ＝ k ③ 代入新數值輕鬆算！
• 陷阱提醒：加起來固定（如 x＋y＝50）不是反比喔！一定要相乘固定才算。
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任務三
正比 vs 反比 超強對照表（相除固定 vs 相乘固定）
【核心任務情境】：正比與反比終極大對照！
(1) 如何利用「終極口訣」一眼看穿兩個變數究竟是正比、反比還是兩者皆非？
(2) 觀察長方形幾何圖形：長度為 a，寬度為 b，面積為 A（A ＝ a × b）：
• 當「寬度 b」固定不變時，面積 A 與長度 a 成何種比例關係？
• 當「面積 A」固定不變時，長度 a 與寬度 b 成何種比例關係？
(1) 如何利用「終極口訣」一眼看穿兩個變數究竟是正比、反比還是兩者皆非？
(2) 觀察長方形幾何圖形：長度為 a，寬度為 b，面積為 A（A ＝ a × b）：
• 當「寬度 b」固定不變時，面積 A 與長度 a 成何種比例關係？
• 當「面積 A」固定不變時，長度 a 與寬度 b 成何種比例關係？
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正比 vs 反比超強對照與大聲公口訣
💡 偵探白話筆記
對照心法與包裹題型
1
【大聲公終極口訣】：
• 「是正比」：
• 「是反比」：x × y ＝ k → 數學長相： (↑↓ 此消彼長)。
• ⚠️ 避坑照妖鏡：x ＋ y ＝ k（相加固定）是 ！
• 「是正比」：
yx
＝ k → 數學長相： (↑↑ 同進同退)。• 「是反比」：x × y ＝ k → 數學長相： (↑↓ 此消彼長)。
• ⚠️ 避坑照妖鏡：x ＋ y ＝ k（相加固定）是 ！
2
【長方形幾何變形密技】：
公式：面積 ＝ 長 × 寬。
• 寬固定時：
• 面積固定時：長 × 寬 ＝ 面積(固定)，相乘固定，故長與寬 ！
公式：面積 ＝ 長 × 寬。
• 寬固定時：
面積長
＝ 寬(固定)，相除固定，故面積與長 ！• 面積固定時：長 × 寬 ＝ 面積(固定)，相乘固定，故長與寬 ！
3
【多項式包裹題型（打包法）】：
若 (y ＋ 3) 與 (x － 2) 成正比，且 x ＝ 5 時，y ＝ 6：
• 左包裹 (y ＋ 3) ＝ 6 ＋ 3 ＝ 9；右包裹 (x － 2) ＝ 5 － 2 ＝ 3。
• 比例常數 k ＝ 9 ÷ 3 ＝ 。
• 關係式為：。
• 當 x ＝ 8 時，y ＋ 3 ＝ 3(8 － 2) ＝ 18 → y ＝ 。
若 (y ＋ 3) 與 (x － 2) 成正比，且 x ＝ 5 時，y ＝ 6：
• 左包裹 (y ＋ 3) ＝ 6 ＋ 3 ＝ 9；右包裹 (x － 2) ＝ 5 － 2 ＝ 3。
• 比例常數 k ＝ 9 ÷ 3 ＝ 。
• 關係式為：。
• 當 x ＝ 8 時，y ＋ 3 ＝ 3(8 － 2) ＝ 18 → y ＝ 。
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【即時挑戰 3】：
(1) 下表為變數 x 與 y 的對應值，請判斷關係並寫出關係式：
• Ⓐ 表格一【x: 2, 4, 6；y: 6, 12, 18】→ y/x ＝ 3，成【】，關係式為 。
• Ⓑ 表格二【x: 2, 4, 8；y: 24, 12, 6】→ xy ＝ 48，成【】，關係式為 。
(2) 判斷下列生活量關係（填「正比」或「反比」）：
• 跑步速率固定時，跑步時間與所跑距離成【】。
• 跑步距離固定時，跑步速率與所需時間成【】。
(1) 下表為變數 x 與 y 的對應值，請判斷關係並寫出關係式：
• Ⓐ 表格一【x: 2, 4, 6；y: 6, 12, 18】→ y/x ＝ 3，成【】，關係式為 。
• Ⓑ 表格二【x: 2, 4, 8；y: 24, 12, 6】→ xy ＝ 48，成【】，關係式為 。
(2) 判斷下列生活量關係（填「正比」或「反比」）：
• 跑步速率固定時，跑步時間與所跑距離成【】。
• 跑步距離固定時，跑步速率與所需時間成【】。
【偵探提示】：
• 大聲公終極口訣：相除固定是正比 (y/x ＝ k)，相乘固定是反比 (xy ＝ k)！
• 幾何長方形密技：寬鎖住不變時，面積與長是正比；面積鎖住不變時，長與寬是反比。
• 包裹題目不用怕：把帶有 ＋、－ 的式子當成「大包裹」，照樣套用正比或反比公式！
• 大聲公終極口訣：相除固定是正比 (y/x ＝ k)，相乘固定是反比 (xy ＝ k)！
• 幾何長方形密技：寬鎖住不變時，面積與長是正比；面積鎖住不變時，長與寬是反比。
• 包裹題目不用怕：把帶有 ＋、－ 的式子當成「大包裹」，照樣套用正比或反比公式！
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任務四
生活與會考實戰（速率反比與會考素養題）
【核心任務情境】：誰開車比較快？探望奶奶家的固定路程大對決！
爸爸以每小時 50 公里的固定平均速率開車到奶奶家，共花費 1.5 小時。
哥哥開另一輛車行駛相同路線，只花了 75 分鐘。
(1) 爸爸與哥哥走的是同一條路，這時「速率」與「時間」成何種比例關係？
(2) 哥哥開車的平均速率為每小時多少公里？
(3) （會考精選）若小涵購買咖啡豆 250 公克自備環保杯折扣 5 元付 295 元，若阿嘉買 x 公克無自備杯付 y 元，y 與 x 之正比關係式為何？
爸爸以每小時 50 公里的固定平均速率開車到奶奶家，共花費 1.5 小時。
哥哥開另一輛車行駛相同路線，只花了 75 分鐘。
(1) 爸爸與哥哥走的是同一條路，這時「速率」與「時間」成何種比例關係？
(2) 哥哥開車的平均速率為每小時多少公里？
(3) （會考精選）若小涵購買咖啡豆 250 公克自備環保杯折扣 5 元付 295 元，若阿嘉買 x 公克無自備杯付 y 元，y 與 x 之正比關係式為何？
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鄉間公路開車對決與距離相同反比木牌
💡 偵探白話筆記
行程反比與會考素養
1
【抓住固定守門員】：
路程公式：距離 ＝ 速率 × 時間。
兩個人走同一條路，代表 ！
因為 速率 × 時間 ＝ 固定總距離，所以「速率與時間 」！
路程公式：距離 ＝ 速率 × 時間。
兩個人走同一條路，代表 ！
因為 速率 × 時間 ＝ 固定總距離，所以「速率與時間 」！
2
【小心時間單位陷阱】：
• 先算總距離：爸爸時速 50 × 1.5 小時 ＝ 公里。
• 哥哥花費 75 分鐘，換算成小時：75 ÷ 60 ＝
• 先算總距離：爸爸時速 50 × 1.5 小時 ＝ 公里。
• 哥哥花費 75 分鐘，換算成小時：75 ÷ 60 ＝
54
＝ 小時。
3
【秒殺求出哥哥時速】：
哥哥時速 × 1.25 ＝ 75 → 哥哥時速 ＝ 75 ÷ 1.25 ＝ 公里/小時。
哥哥時速 × 1.25 ＝ 75 → 哥哥時速 ＝ 75 ÷ 1.25 ＝ 公里/小時。
4
【會考咖啡豆防呆照妖鏡】：
小涵自備杯省 5 元付 295 元 → 原價為 295 ＋ 5 ＝ 元！
每公克固定原價為 300 ÷ 250 ＝
阿嘉沒帶杯子買 x 公克付 y 元，關係式為：，兩者 。
小涵自備杯省 5 元付 295 元 → 原價為 295 ＋ 5 ＝ 元！
每公克固定原價為 300 ÷ 250 ＝
300250
＝ 1.2 元。阿嘉沒帶杯子買 x 公克付 y 元，關係式為：，兩者 。
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【即時挑戰 4】：
(1) 一項工程由 12 位工人合作，預計 15 天可以完工。若想提前在 10 天內完工：
• 工人數 x 與完工天數 y 成【】（總工作量 xy ＝ 12 × 15 ＝ 180 工作天）。
• 需工人數 ＝ 180 ÷ 10 ＝ 人，需額外增加 位工人。
(2) 甲、乙兩地相距 120 公里，小明騎單車從甲地到乙地：
• 若平均時速為 x 公里/小時，所需時間為 y 小時，關係式為 。
• 若小明希望在 4 小時內抵達，平均時速至少需達到 公里/小時。
(3) （會考精選）某文具店筆記本每本售價均相等且超過 10 元。小錦買若干本花費 36 元，小動的花費可能為下列何者？答案：【】
Ⓐ 16 元 Ⓑ 27 元 Ⓒ 30 元 Ⓓ 48 元
(提示：單價為 36 的因數且大於 10，可能為 12, 18, 36 元。選項中只有 48 是 12 的整數倍，48 ÷ 12 ＝ 4 本)
(1) 一項工程由 12 位工人合作，預計 15 天可以完工。若想提前在 10 天內完工：
• 工人數 x 與完工天數 y 成【】（總工作量 xy ＝ 12 × 15 ＝ 180 工作天）。
• 需工人數 ＝ 180 ÷ 10 ＝ 人，需額外增加 位工人。
(2) 甲、乙兩地相距 120 公里，小明騎單車從甲地到乙地：
• 若平均時速為 x 公里/小時，所需時間為 y 小時，關係式為 。
• 若小明希望在 4 小時內抵達，平均時速至少需達到 公里/小時。
(3) （會考精選）某文具店筆記本每本售價均相等且超過 10 元。小錦買若干本花費 36 元，小動的花費可能為下列何者？答案：【】
Ⓐ 16 元 Ⓑ 27 元 Ⓒ 30 元 Ⓓ 48 元
(提示：單價為 36 的因數且大於 10，可能為 12, 18, 36 元。選項中只有 48 是 12 的整數倍，48 ÷ 12 ＝ 4 本)
【偵探提示】：
• 行程問題第一步：同一條路代表距離相同，速率 × 時間 ＝ 距離（相乘固定，成反比）！
• 單位換算注意：75 分鐘要除以 60 換算成 1.25 小時，千萬不要直接拿 75 去算喔！
• 會考買豆解題術：自備杯省 5 元，原價要先加回 5 元（295＋5＝300），才能抓出正比關係！
• 行程問題第一步：同一條路代表距離相同，速率 × 時間 ＝ 距離（相乘固定，成反比）！
• 單位換算注意：75 分鐘要除以 60 換算成 1.25 小時，千萬不要直接拿 75 去算喔！
• 會考買豆解題術：自備杯省 5 元，原價要先加回 5 元（295＋5＝300），才能抓出正比關係！