國中數學一下【3-2 正比與反比】手帳塗鴉筆記學習單
單元核心：正比意義與關係式、反比意義與關係式、對照判別與會考生活應用 【教師專用詳解版】
任課教師：張老師
任務一
正比的意義與關係式（好朋友一起變大：y ＝ kx）
【核心任務情境】：夏日珍奶好朋友，同進同退一起變大！
手搖飲店一杯招牌黑糖珍珠奶茶售價 50 元。小明幫全班代購，買了 x 杯，結帳總金額為 y 元。
(1) x 與 y 的對應關係為何？為什麼說 y 與 x「成正比」？
(2) 寫出 x 與 y 的關係式，並求當買了 7 杯珍奶時，需付多少元？
(3) 若結帳金額為 600 元，小明共買了幾杯珍奶？
手搖飲店一杯招牌黑糖珍珠奶茶售價 50 元。小明幫全班代購，買了 x 杯，結帳總金額為 y 元。
(1) x 與 y 的對應關係為何？為什麼說 y 與 x「成正比」？
(2) 寫出 x 與 y 的關係式，並求當買了 7 杯珍奶時，需付多少元？
(3) 若結帳金額為 600 元，小明共買了幾杯珍奶？
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珍奶同進同退與正比倍數固定
💡 偵探白話筆記
正比破案三步驟
1
【觀察同進同退現象】：
買 1 杯 50 元、買 2 杯 100 元、買 3 杯 150 元。
當杯數 x 變為 2 倍、3 倍時，總金額 y 也跟著變為 2 倍、3 倍！
買 1 杯 50 元、買 2 杯 100 元、買 3 杯 150 元。
當杯數 x 變為 2 倍、3 倍時，總金額 y 也跟著變為 2 倍、3 倍！
2
【正比的數學定義（相除固定）】：
當兩變數 x、y 滿足「比值永遠固定」（
此時我們稱「y 與 x 成正比」！
當兩變數 x、y 滿足「比值永遠固定」（
yx
＝ k），就稱為 比值固定。此時我們稱「y 與 x 成正比」！
3
【黃金關係式 y ＝ kx】：
改寫成乘法形式：y ＝ kx（k 稱為 比例常數，k ≠ 0）。
本題中 k ＝ 50（每杯單價），關係式為 y ＝ 50x。
• 當 x ＝ 7 時，y ＝ 50 × 7 ＝ 350 元。
• 當 y ＝ 600 時，600 ＝ 50x → x ＝ 12 杯。
改寫成乘法形式：y ＝ kx（k 稱為 比例常數，k ≠ 0）。
本題中 k ＝ 50（每杯單價），關係式為 y ＝ 50x。
• 當 x ＝ 7 時，y ＝ 50 × 7 ＝ 350 元。
• 當 y ＝ 600 時，600 ＝ 50x → x ＝ 12 杯。
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【即時挑戰 1】：
(1) 判斷下列各敘述中，y 是否與 x 成正比（填「是」或「否」）：
• 圓的半徑為 x，圓周長為 y（y ＝ 2πx）：【是】
• 爸爸 40 歲，小華 x 歲，兩人的年齡差為 y 歲（y ＝ 40－x）：【否】
• 正方形的邊長為 x，面積為 y（y ＝ x²）：【否】
• 購買每顆 15 元茶葉蛋 x 顆，總花費 y 元（y ＝ 15x）：【是】
(2) 已知 y 與 x 成正比，且當 x ＝ 4 時，y ＝ 28：
• ① 比例常數 k ＝ 28 ÷ 4 ＝ 7，關係式為 y ＝ 7x。
• ② 當 x ＝ －5 時，y ＝ 7 × (－5) ＝ －35。
• ③ 當 y ＝ 84 時，84 ＝ 7x → x ＝ 12。
(1) 判斷下列各敘述中，y 是否與 x 成正比（填「是」或「否」）：
• 圓的半徑為 x，圓周長為 y（y ＝ 2πx）：【是】
• 爸爸 40 歲，小華 x 歲，兩人的年齡差為 y 歲（y ＝ 40－x）：【否】
• 正方形的邊長為 x，面積為 y（y ＝ x²）：【否】
• 購買每顆 15 元茶葉蛋 x 顆，總花費 y 元（y ＝ 15x）：【是】
(2) 已知 y 與 x 成正比，且當 x ＝ 4 時，y ＝ 28：
• ① 比例常數 k ＝ 28 ÷ 4 ＝ 7，關係式為 y ＝ 7x。
• ② 當 x ＝ －5 時，y ＝ 7 × (－5) ＝ －35。
• ③ 當 y ＝ 84 時，84 ＝ 7x → x ＝ 12。
【教師教學導引 & 核心提問】：
• 生活情境直觀連結：買珍珠奶茶每杯單價固定，杯數越多、總金額等比例增加。讓學生體會「同進同退」且「比值不變（y/x ＝ 50）」的本質。
• 迷思概念破解：學生常以為「一個變大、另一個也變大就是正比」。請提醒「年齡問題（y ＝ 40－x 或差固定）」、「正方形面積（y ＝ x²）」都不是正比，唯有滿足 y ＝ kx (k≠0) 才是正比！
• 解題 SOP：先設 y ＝ kx → 代入已知數對解出 k → 寫出關係式 → 代入新值求解。
• 生活情境直觀連結：買珍珠奶茶每杯單價固定，杯數越多、總金額等比例增加。讓學生體會「同進同退」且「比值不變（y/x ＝ 50）」的本質。
• 迷思概念破解：學生常以為「一個變大、另一個也變大就是正比」。請提醒「年齡問題（y ＝ 40－x 或差固定）」、「正方形面積（y ＝ x²）」都不是正比，唯有滿足 y ＝ kx (k≠0) 才是正比！
• 解題 SOP：先設 y ＝ kx → 代入已知數對解出 k → 寫出關係式 → 代入新值求解。
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任務二
反比的意義與關係式（相乘固定、扭蛋機密碼：x × y ＝ k）
【核心任務情境】：反比扭蛋機的神秘數字密碼！
數學實驗室有一台神奇扭蛋機，投入兩個代幣 x 與 y，扭出來的膠囊總量相乘永遠固定！
已知 y 與 x 成反比，且當 x ＝ －3 時，y ＝ 10。
(1) 求 x 與 y 的反比通關密碼（關係式）？
(2) 當 y 變成 －12 時，扭蛋機頂端的代幣 x 是多少？
數學實驗室有一台神奇扭蛋機，投入兩個代幣 x 與 y，扭出來的膠囊總量相乘永遠固定！
已知 y 與 x 成反比，且當 x ＝ －3 時，y ＝ 10。
(1) 求 x 與 y 的反比通關密碼（關係式）？
(2) 當 y 變成 －12 時，扭蛋機頂端的代幣 x 是多少？
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相乘固定總量的反比扭蛋機
💡 偵探白話筆記
反比破案三步驟
1
【看懂此消彼長現象】：
成反比時，當 x 擴大為 2 倍、3 倍時，y 反而縮小為 1/2 倍、1/3 倍！
就像分糖果，吃的人越多，每個人分到的就越少。
成反比時，當 x 擴大為 2 倍、3 倍時，y 反而縮小為 1/2 倍、1/3 倍！
就像分糖果，吃的人越多，每個人分到的就越少。
2
【反比的數學定義（相乘固定）】：
當兩變數 x、y 滿足「相乘永遠等於同一個神秘常數」，即 乘積固定。
此時我們稱「y 與 x 成反比」！數學長相記作：xy ＝ k（k ≠ 0）。
當兩變數 x、y 滿足「相乘永遠等於同一個神秘常數」，即 乘積固定。
此時我們稱「y 與 x 成反比」！數學長相記作：xy ＝ k（k ≠ 0）。
3
【解鎖扭蛋機密碼】：
① 找神秘常數 k：代入 x ＝ －3，y ＝ 10 → k ＝ (－3) × 10 ＝ －30。
② 關係式為：xy ＝ －30（或 y ＝ －30/x）。
③ 當 y ＝ －12 時，x × (－12) ＝ －30 → x ＝
① 找神秘常數 k：代入 x ＝ －3，y ＝ 10 → k ＝ (－3) × 10 ＝ －30。
② 關係式為：xy ＝ －30（或 y ＝ －30/x）。
③ 當 y ＝ －12 時，x × (－12) ＝ －30 → x ＝
－30－12
＝ 5/2（即 2.5）。
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【即時挑戰 2】：
(1) 判斷下列各敘述中，y 是否與 x 成反比（填「是」或「否」）：
• 長方形面積固定為 36，長為 x，寬為 y（xy ＝ 36）：【是】
• 總共有 100 顆糖果，平分給 x 個人，每人得 y 顆（xy ＝ 100）：【是】
• 繩長 50 公尺，剪去 x 公尺，剩下 y 公尺（x ＋ y ＝ 50）：【否】
(2) 已知 y 與 x 成反比，且當 x ＝ 6 時，y ＝ 8：
• ① 神秘常數 k ＝ 6 × 8 ＝ 48，關係式為 xy ＝ 48。
• ② 當 x ＝ －16 時，(－16) × y ＝ 48 → y ＝ －3。
• ③ 當 y ＝ 12 時，x × 12 ＝ 48 → x ＝ 4。
(1) 判斷下列各敘述中，y 是否與 x 成反比（填「是」或「否」）：
• 長方形面積固定為 36，長為 x，寬為 y（xy ＝ 36）：【是】
• 總共有 100 顆糖果，平分給 x 個人，每人得 y 顆（xy ＝ 100）：【是】
• 繩長 50 公尺，剪去 x 公尺，剩下 y 公尺（x ＋ y ＝ 50）：【否】
(2) 已知 y 與 x 成反比，且當 x ＝ 6 時，y ＝ 8：
• ① 神秘常數 k ＝ 6 × 8 ＝ 48，關係式為 xy ＝ 48。
• ② 當 x ＝ －16 時，(－16) × y ＝ 48 → y ＝ －3。
• ③ 當 y ＝ 12 時，x × 12 ＝ 48 → x ＝ 4。
【教師教學導引 & 核心提問】：
• 扭蛋機與乘積總量概念：扭蛋機投入兩枚代幣 x 與 y，扭出的膠囊數值永遠是兩者乘積（相乘＝總量）。
• 反比的本質特徵：x 擴大為 n 倍，y 反而縮小為 1/n 倍，故其乘積 xy ＝ k (k≠0) 永遠固定不變。
• 防呆辨析：繩子剪去 x 剩下 y，是「相加固定 (x＋y＝50)」，不是反比！務必強調只有「相乘固定」才是反比。
• 扭蛋機與乘積總量概念：扭蛋機投入兩枚代幣 x 與 y，扭出的膠囊數值永遠是兩者乘積（相乘＝總量）。
• 反比的本質特徵：x 擴大為 n 倍，y 反而縮小為 1/n 倍，故其乘積 xy ＝ k (k≠0) 永遠固定不變。
• 防呆辨析：繩子剪去 x 剩下 y，是「相加固定 (x＋y＝50)」，不是反比！務必強調只有「相乘固定」才是反比。
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任務三
正比 vs 反比 超強對照表（相除固定 vs 相乘固定）
【核心任務情境】：正比與反比終極大對照！
(1) 如何利用「終極口訣」一眼看穿兩個變數究竟是正比、反比還是兩者皆非？
(2) 觀察長方形幾何圖形：長度為 a，寬度為 b，面積為 A（A ＝ a × b）：
• 當「寬度 b」固定不變時，面積 A 與長度 a 成何種比例關係？
• 當「面積 A」固定不變時，長度 a 與寬度 b 成何種比例關係？
(1) 如何利用「終極口訣」一眼看穿兩個變數究竟是正比、反比還是兩者皆非？
(2) 觀察長方形幾何圖形：長度為 a，寬度為 b，面積為 A（A ＝ a × b）：
• 當「寬度 b」固定不變時，面積 A 與長度 a 成何種比例關係？
• 當「面積 A」固定不變時，長度 a 與寬度 b 成何種比例關係？
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正比 vs 反比超強對照與大聲公口訣
💡 偵探白話筆記
對照心法與包裹題型
1
【大聲公終極口訣】：
• 「相除固定是正比」：
• 「相乘固定是反比」：x × y ＝ k → 數學長相：xy ＝ k (↑↓ 此消彼長)。
• ⚠️ 避坑照妖鏡：x ＋ y ＝ k（相加固定）是 兩者皆非！
• 「相除固定是正比」：
yx
＝ k → 數學長相：y ＝ kx (↑↑ 同進同退)。• 「相乘固定是反比」：x × y ＝ k → 數學長相：xy ＝ k (↑↓ 此消彼長)。
• ⚠️ 避坑照妖鏡：x ＋ y ＝ k（相加固定）是 兩者皆非！
2
【長方形幾何變形密技】：
公式：面積 ＝ 長 × 寬。
• 寬固定時：
• 面積固定時：長 × 寬 ＝ 面積(固定)，相乘固定，故長與寬 成反比！
公式：面積 ＝ 長 × 寬。
• 寬固定時：
面積長
＝ 寬(固定)，相除固定，故面積與長 成正比！• 面積固定時：長 × 寬 ＝ 面積(固定)，相乘固定，故長與寬 成反比！
3
【多項式包裹題型（打包法）】：
若 (y ＋ 3) 與 (x － 2) 成正比，且 x ＝ 5 時，y ＝ 6：
• 左包裹 (y ＋ 3) ＝ 6 ＋ 3 ＝ 9；右包裹 (x － 2) ＝ 5 － 2 ＝ 3。
• 比例常數 k ＝ 9 ÷ 3 ＝ 3。
• 關係式為：y ＋ 3 ＝ 3(x － 2)。
• 當 x ＝ 8 時，y ＋ 3 ＝ 3(8 － 2) ＝ 18 → y ＝ 15。
若 (y ＋ 3) 與 (x － 2) 成正比，且 x ＝ 5 時，y ＝ 6：
• 左包裹 (y ＋ 3) ＝ 6 ＋ 3 ＝ 9；右包裹 (x － 2) ＝ 5 － 2 ＝ 3。
• 比例常數 k ＝ 9 ÷ 3 ＝ 3。
• 關係式為：y ＋ 3 ＝ 3(x － 2)。
• 當 x ＝ 8 時，y ＋ 3 ＝ 3(8 － 2) ＝ 18 → y ＝ 15。
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【即時挑戰 3】：
(1) 下表為變數 x 與 y 的對應值，請判斷關係並寫出關係式：
• Ⓐ 表格一【x: 2, 4, 6；y: 6, 12, 18】→ y/x ＝ 3，成【正比】，關係式為 y ＝ 3x。
• Ⓑ 表格二【x: 2, 4, 8；y: 24, 12, 6】→ xy ＝ 48，成【反比】，關係式為 xy ＝ 48。
(2) 判斷下列生活量關係（填「正比」或「反比」）：
• 跑步速率固定時，跑步時間與所跑距離成【正比】。
• 跑步距離固定時，跑步速率與所需時間成【反比】。
(1) 下表為變數 x 與 y 的對應值，請判斷關係並寫出關係式：
• Ⓐ 表格一【x: 2, 4, 6；y: 6, 12, 18】→ y/x ＝ 3，成【正比】，關係式為 y ＝ 3x。
• Ⓑ 表格二【x: 2, 4, 8；y: 24, 12, 6】→ xy ＝ 48，成【反比】，關係式為 xy ＝ 48。
(2) 判斷下列生活量關係（填「正比」或「反比」）：
• 跑步速率固定時，跑步時間與所跑距離成【正比】。
• 跑步距離固定時，跑步速率與所需時間成【反比】。
【教師教學導引 & 核心提問】：
• 正比 vs 反比終極口訣：「相除固定是正比，相乘固定是反比」！引導學生觀察小恐龍大聲公圖解。
• 幾何公式的對應：面積 ＝ 長 × 寬。鎖住寬時，面積/長 ＝ 寬(固定)，故面積與長成正比；鎖住面積時，長 × 寬 ＝ 面積(固定)，故長與寬成反比。
• 包裹題型鷹架：當遇到 (2y＋9) 與 (5x－2) 等代數多項式時，引導學生「打包視為一整包」，列式為 (左包裹) ＝ k × (右包裹)，即可化繁為簡。
• 正比 vs 反比終極口訣：「相除固定是正比，相乘固定是反比」！引導學生觀察小恐龍大聲公圖解。
• 幾何公式的對應：面積 ＝ 長 × 寬。鎖住寬時，面積/長 ＝ 寬(固定)，故面積與長成正比；鎖住面積時，長 × 寬 ＝ 面積(固定)，故長與寬成反比。
• 包裹題型鷹架：當遇到 (2y＋9) 與 (5x－2) 等代數多項式時，引導學生「打包視為一整包」，列式為 (左包裹) ＝ k × (右包裹)，即可化繁為簡。
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任務四
生活與會考實戰（速率反比與會考素養題）
【核心任務情境】：誰開車比較快？探望奶奶家的固定路程大對決！
爸爸以每小時 50 公里的固定平均速率開車到奶奶家，共花費 1.5 小時。
哥哥開另一輛車行駛相同路線，只花了 75 分鐘。
(1) 爸爸與哥哥走的是同一條路，這時「速率」與「時間」成何種比例關係？
(2) 哥哥開車的平均速率為每小時多少公里？
(3) （會考精選）若小涵購買咖啡豆 250 公克自備環保杯折扣 5 元付 295 元，若阿嘉買 x 公克無自備杯付 y 元，y 與 x 之正比關係式為何？
爸爸以每小時 50 公里的固定平均速率開車到奶奶家，共花費 1.5 小時。
哥哥開另一輛車行駛相同路線，只花了 75 分鐘。
(1) 爸爸與哥哥走的是同一條路，這時「速率」與「時間」成何種比例關係？
(2) 哥哥開車的平均速率為每小時多少公里？
(3) （會考精選）若小涵購買咖啡豆 250 公克自備環保杯折扣 5 元付 295 元，若阿嘉買 x 公克無自備杯付 y 元，y 與 x 之正比關係式為何？
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鄉間公路開車對決與距離相同反比木牌
💡 偵探白話筆記
行程反比與會考素養
1
【抓住固定守門員】：
路程公式：距離 ＝ 速率 × 時間。
兩個人走同一條路，代表 距離固定！
因為 速率 × 時間 ＝ 固定總距離，所以「速率與時間 成反比」！
路程公式：距離 ＝ 速率 × 時間。
兩個人走同一條路，代表 距離固定！
因為 速率 × 時間 ＝ 固定總距離，所以「速率與時間 成反比」！
2
【小心時間單位陷阱】：
• 先算總距離：爸爸時速 50 × 1.5 小時 ＝ 75 公里。
• 哥哥花費 75 分鐘，換算成小時：75 ÷ 60 ＝
• 先算總距離：爸爸時速 50 × 1.5 小時 ＝ 75 公里。
• 哥哥花費 75 分鐘，換算成小時：75 ÷ 60 ＝
54
＝ 1.25 小時。
3
【秒殺求出哥哥時速】：
哥哥時速 × 1.25 ＝ 75 → 哥哥時速 ＝ 75 ÷ 1.25 ＝ 60 公里/小時。
哥哥時速 × 1.25 ＝ 75 → 哥哥時速 ＝ 75 ÷ 1.25 ＝ 60 公里/小時。
4
【會考咖啡豆防呆照妖鏡】：
小涵自備杯省 5 元付 295 元 → 原價為 295 ＋ 5 ＝ 300 元！
每公克固定原價為 300 ÷ 250 ＝
阿嘉沒帶杯子買 x 公克付 y 元，關係式為：y ＝ (300/250)x，兩者 成正比。
小涵自備杯省 5 元付 295 元 → 原價為 295 ＋ 5 ＝ 300 元！
每公克固定原價為 300 ÷ 250 ＝
300250
＝ 1.2 元。阿嘉沒帶杯子買 x 公克付 y 元，關係式為：y ＝ (300/250)x，兩者 成正比。
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【即時挑戰 4】：
(1) 一項工程由 12 位工人合作，預計 15 天可以完工。若想提前在 10 天內完工：
• 工人數 x 與完工天數 y 成【反比】（總工作量 xy ＝ 12 × 15 ＝ 180 工作天）。
• 需工人數 ＝ 180 ÷ 10 ＝ 18 人，需額外增加 6 位工人。
(2) 甲、乙兩地相距 120 公里，小明騎單車從甲地到乙地：
• 若平均時速為 x 公里/小時，所需時間為 y 小時，關係式為 xy ＝ 120。
• 若小明希望在 4 小時內抵達，平均時速至少需達到 30 公里/小時。
(3) （會考精選）某文具店筆記本每本售價均相等且超過 10 元。小錦買若干本花費 36 元，小動的花費可能為下列何者？答案：【D】
Ⓐ 16 元 Ⓑ 27 元 Ⓒ 30 元 Ⓓ 48 元
(提示：單價為 36 的因數且大於 10，可能為 12, 18, 36 元。選項中只有 48 是 12 的整數倍，48 ÷ 12 ＝ 4 本)
(1) 一項工程由 12 位工人合作，預計 15 天可以完工。若想提前在 10 天內完工：
• 工人數 x 與完工天數 y 成【反比】（總工作量 xy ＝ 12 × 15 ＝ 180 工作天）。
• 需工人數 ＝ 180 ÷ 10 ＝ 18 人，需額外增加 6 位工人。
(2) 甲、乙兩地相距 120 公里，小明騎單車從甲地到乙地：
• 若平均時速為 x 公里/小時，所需時間為 y 小時，關係式為 xy ＝ 120。
• 若小明希望在 4 小時內抵達，平均時速至少需達到 30 公里/小時。
(3) （會考精選）某文具店筆記本每本售價均相等且超過 10 元。小錦買若干本花費 36 元，小動的花費可能為下列何者？答案：【D】
Ⓐ 16 元 Ⓑ 27 元 Ⓒ 30 元 Ⓓ 48 元
(提示：單價為 36 的因數且大於 10，可能為 12, 18, 36 元。選項中只有 48 是 12 的整數倍，48 ÷ 12 ＝ 4 本)
【教師教學導引 & 核心提問】：
• 跨單位換算防呆：開車與行程問題中，速率單位通常為「公里/小時」，若題目給予「75 分鐘」，務必提醒學生先換算為 75/60 ＝ 1.25 小時，不可直接相除！
• 工程問題總量不變：總工作量 ＝ 工人數 × 完工天數（xy ＝ 180 工作天），人數越多天數越少，成反比。
• 會考素養題型剖析：咖啡豆與筆記本問題均測驗「固定單價的正比本質」。自備容器折價 5 元是常數項干擾，必須先還原原價才能建立正比關係式。
• 跨單位換算防呆：開車與行程問題中，速率單位通常為「公里/小時」，若題目給予「75 分鐘」，務必提醒學生先換算為 75/60 ＝ 1.25 小時，不可直接相除！
• 工程問題總量不變：總工作量 ＝ 工人數 × 完工天數（xy ＝ 180 工作天），人數越多天數越少，成反比。
• 會考素養題型剖析：咖啡豆與筆記本問題均測驗「固定單價的正比本質」。自備容器折價 5 元是常數項干擾，必須先還原原價才能建立正比關係式。