國中數學一下【4-1 認識一元一次不等式】手帳塗鴉筆記學習單
單元核心：不等號意義、一元一次不等式定義、日常語言翻譯、數線圖示與解的檢驗 【教師專用詳解版】
任課教師：張老師
任務一
不等式的意義與常見符號（貪吃怪獸大嘴巴：＞、＜、≧、≦）
【核心任務情境】：貪吃怪獸的美味大餐抉擇！
數學王國裡有一隻貪吃恐龍怪獸，牠的大嘴巴開口永遠朝向「比較多」的那一堆！
(1) 不等號「＞」、「＜」、「≧」、「≦」各代表什麼意思？
(2) 符號底下多了一條橫線（底線）代表什麼神秘含義？
(3) 什麼是「一元一次不等式」？請找出哪些是一元一次不等式？
數學王國裡有一隻貪吃恐龍怪獸，牠的大嘴巴開口永遠朝向「比較多」的那一堆！
(1) 不等號「＞」、「＜」、「≧」、「≦」各代表什麼意思？
(2) 符號底下多了一條橫線（底線）代表什麼神秘含義？
(3) 什麼是「一元一次不等式」？請找出哪些是一元一次不等式？
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貪吃怪獸大嘴巴與不等號底線密碼
💡 偵探白話筆記
破案三大關鍵法則
1
【大嘴巴開口對大數】：
• 開口向左「＞」代表 大於：左邊的數量比右邊大。
• 開口向右「＜」代表 小於：左邊的數量比右邊小。
• 開口向左「＞」代表 大於：左邊的數量比右邊大。
• 開口向右「＜」代表 小於：左邊的數量比右邊小。
2
【底線橫線代表「等於」】：
• 當符號下方多了一條橫線時，代表除了大於或小於，還可以 等於（剛好一樣多）！
• 「≧」讀作 大於或等於（或不小於）。
• 「≦」讀作 小於或等於（或不大於）。
• 當符號下方多了一條橫線時，代表除了大於或小於，還可以 等於（剛好一樣多）！
• 「≧」讀作 大於或等於（或不小於）。
• 「≦」讀作 小於或等於（或不大於）。
3
【一元一次不等式三條件】：
• 一元：只含有 1 個未知數（如 x）。
• 一次：未知數最高次方為 1 次（不能有 x²）。
• 不等式：式子中必須含有 不等號（＞、＜、≧、≦、≠）。
• 一元：只含有 1 個未知數（如 x）。
• 一次：未知數最高次方為 1 次（不能有 x²）。
• 不等式：式子中必須含有 不等號（＞、＜、≧、≦、≠）。
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【即時挑戰 1】：
(1) 判斷下列各式是否為一元一次不等式（填「是」或「否」）：
• 2x ＋ 5 ＞ 13：【是】
• 3x － 7 ＝ 11：【否】（這是方程式）
• x² － 4x ≦ 0：【否】（二次）
• 5x ＋ 2y ≧ 10：【否】（二元）
•
(2) 請在【 】填入正確的不等號（＞、＜、≧、≦）：
• 8 × 5 【＞】 36。
• －7 【＜】 －3。
• 若 a 是非負數，則 a 【≧】 0。
• 若 b 是負數，則 b 【＜】 0。
(1) 判斷下列各式是否為一元一次不等式（填「是」或「否」）：
• 2x ＋ 5 ＞ 13：【是】
• 3x － 7 ＝ 11：【否】（這是方程式）
• x² － 4x ≦ 0：【否】（二次）
• 5x ＋ 2y ≧ 10：【否】（二元）
•
x3
－ 1 ＜ 4：【是】(2) 請在【 】填入正確的不等號（＞、＜、≧、≦）：
• 8 × 5 【＞】 36。
• －7 【＜】 －3。
• 若 a 是非負數，則 a 【≧】 0。
• 若 b 是負數，則 b 【＜】 0。
【教師教學導引 & 核心提問】：
• 視覺意象引導：怪獸貪吃大嘴巴開口永遠朝向較大的數量。底下加一條橫線（底線）代表等號，即包含「等於」的情況。
• 一元一次不等式定義審查：一元（僅有 1 個未知數）、一次（最高次數為 1）、不等式（含 ＞、＜、≧、≦、≠）。方程式用等號，不是不等式；二次式如 x² 不符合一次。
• 非負數與負數的符號轉換：「非負數」代表「大於或等於 0」（a ≧ 0）；「負數」代表「小於 0」（b ＜ 0）。
• 視覺意象引導：怪獸貪吃大嘴巴開口永遠朝向較大的數量。底下加一條橫線（底線）代表等號，即包含「等於」的情況。
• 一元一次不等式定義審查：一元（僅有 1 個未知數）、一次（最高次數為 1）、不等式（含 ＞、＜、≧、≦、≠）。方程式用等號，不是不等式；二次式如 x² 不符合一次。
• 非負數與負數的符號轉換：「非負數」代表「大於或等於 0」（a ≧ 0）；「負數」代表「小於 0」（b ＜ 0）。
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任務二
不等號的翻譯蒟蒻（破解日常語言與代數列式）
【核心任務情境】：生活日常用語大翻譯！
日常生活裡常聽到「超過 100 分」、「未滿 18 歲」、「至少要 50 元」、「至多買 3 本」。
(1) 這些日常詞語分別對應哪一個數學不等號？
(2) 遇到帶有「不」字的詞（如不大於、不小於），該如何反向思考破解？
(3) 小妍身上有 x 元，加上弟弟的 220 元後，「足夠」訂購定價 650 元的母親節蛋糕，請列出不等式。
日常生活裡常聽到「超過 100 分」、「未滿 18 歲」、「至少要 50 元」、「至多買 3 本」。
(1) 這些日常詞語分別對應哪一個數學不等號？
(2) 遇到帶有「不」字的詞（如不大於、不小於），該如何反向思考破解？
(3) 小妍身上有 x 元，加上弟弟的 220 元後，「足夠」訂購定價 650 元的母親節蛋糕，請列出不等式。
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四宮格日常語言翻譯蒟蒻
💡 偵探白話筆記
翻譯蒟蒻對照心法
1
【四宮格字典速查】：
• ＞（大於）：超過、高於（如溫度計爆表）。
• ＜（小於）：未滿、不到（如身高未達標）。
• ≧（大於或等於）：至少、以上（如至少 50 元才能買雞排）。
• ≦（小於或等於）：至多、以下（如電梯限重 5 人以下）。
• ＞（大於）：超過、高於（如溫度計爆表）。
• ＜（小於）：未滿、不到（如身高未達標）。
• ≧（大於或等於）：至少、以上（如至少 50 元才能買雞排）。
• ≦（小於或等於）：至多、以下（如電梯限重 5 人以下）。
2
【「不」字反向照妖鏡】：
• 「不大於」反面就是 小於或等於（≦）。
• 「不小於」反面就是 大於或等於（≧）。
• ⚠️ 避坑口訣：看到「以上/以下」，一定要包含基準點（畫底線）！
• 「不大於」反面就是 小於或等於（≦）。
• 「不小於」反面就是 大於或等於（≧）。
• ⚠️ 避坑口訣：看到「以上/以下」，一定要包含基準點（畫底線）！
3
【買蛋糕列式破案】：
兩人合資共有 (x ＋ 220) 元。
「足夠」代表金額大於或剛好等於 650 元老闆都會賣！
因此依題意列出不等式為：x ＋ 220 ≧ 650。
兩人合資共有 (x ＋ 220) 元。
「足夠」代表金額大於或剛好等於 650 元老闆都會賣！
因此依題意列出不等式為：x ＋ 220 ≧ 650。
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【即時挑戰 2】：
(1) 將下列中文敘述翻譯為一元一次不等式：
• x 的 3 倍加 5 超過 20：【3x ＋ 5 ＞ 20】。
• y 的一半減 7 不大於 15：【y/2 － 7 ≦ 15】。
• 某設施規定身高 h 公分需「滿 120 公分且未滿 150 公分」：【120 ≦ h ＜ 150】。
(2) （生活找錢題）小萱買了 4 本每本 x 元的書與 1 個 120 元的飾品，付一張 500 元鈔票，找回的錢超過 90 元：
• 買東西的花費為：4x ＋ 120 元。
• 找回的錢列式為：500 － (4x ＋ 120) 元。
• 依題意列出不等式為：500 － (4x ＋ 120) ＞ 90。
(1) 將下列中文敘述翻譯為一元一次不等式：
• x 的 3 倍加 5 超過 20：【3x ＋ 5 ＞ 20】。
• y 的一半減 7 不大於 15：【y/2 － 7 ≦ 15】。
• 某設施規定身高 h 公分需「滿 120 公分且未滿 150 公分」：【120 ≦ h ＜ 150】。
(2) （生活找錢題）小萱買了 4 本每本 x 元的書與 1 個 120 元的飾品，付一張 500 元鈔票，找回的錢超過 90 元：
• 買東西的花費為：4x ＋ 120 元。
• 找回的錢列式為：500 － (4x ＋ 120) 元。
• 依題意列出不等式為：500 － (4x ＋ 120) ＞ 90。
【教師教學導引 & 核心提問】：
• 四宮格日常語言轉換：超過（＞）、未滿（＜）、至少（≧）、至多（≦）。強化「以上/以下」必定含等號。
• 「不」字反向思維：「不大於」反面即為「小於或等於（≦）」；「不小於」反面即為「大於或等於（≧）」。
• 找錢與代數式防呆：付 500 元找錢問題中，花費 4x＋120 必須括號，列式 500 － (4x ＋ 120) ＞ 90。若漏括號變成 500 － 4x ＋ 120 即為嚴重運算錯誤。
• 四宮格日常語言轉換：超過（＞）、未滿（＜）、至少（≧）、至多（≦）。強化「以上/以下」必定含等號。
• 「不」字反向思維：「不大於」反面即為「小於或等於（≦）」；「不小於」反面即為「大於或等於（≧）」。
• 找錢與代數式防呆：付 500 元找錢問題中，花費 4x＋120 必須括號，列式 500 － (4x ＋ 120) ＞ 90。若漏括號變成 500 － 4x ＋ 120 即為嚴重運算錯誤。
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任務三
在數線上畫出不等式的範圍（空心圈 vs 實心圈 ＆ 箭頭方向）
【核心任務情境】：數線幾何圖示大解密！
不等式的解有無限多個，最好的視覺表達方法就是畫在「數線」上！
(1) 數線上的端點圓圈什麼時候畫「空心圈 ○」？什麼時候畫「實心圈 ●」？
(2) 數線上的射線箭頭什麼時候向右飛？什麼時候向左爬？
(3) 如何在數線上正確畫出「x ＞ 5」、「x ≦ －3」與雙邊範圍「2 ≦ x ＜ 7」？
不等式的解有無限多個，最好的視覺表達方法就是畫在「數線」上！
(1) 數線上的端點圓圈什麼時候畫「空心圈 ○」？什麼時候畫「實心圈 ●」？
(2) 數線上的射線箭頭什麼時候向右飛？什麼時候向左爬？
(3) 如何在數線上正確畫出「x ＞ 5」、「x ≦ －3」與雙邊範圍「2 ≦ x ＜ 7」？
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肚子空空空心圈 vs 吃飽飽實心圈
💡 偵探白話筆記
數線作圖 SOP
1
【肚子空空 vs 吃飽飽】：
• 沒有等號（＞、＜）：代表 不包含 該數（肚子空空餓扁了），畫 空心圓圈 ○！
• 有等號（≧、≦）：代表 包含 該數（吃飽飽圓滾滾），畫 實心圓圈 ●！
• 沒有等號（＞、＜）：代表 不包含 該數（肚子空空餓扁了），畫 空心圓圈 ○！
• 有等號（≧、≦）：代表 包含 該數（吃飽飽圓滾滾），畫 實心圓圈 ●！
2
【火箭烏龜看方向】：
• ＞ 或 ≧（大於）：數值漸大，箭頭向 右邊 發射（火箭往右飛）！
• ＜ 或 ≦（小於）：數值漸小，箭頭向 左邊 爬行（烏龜往左爬）！
• ＞ 或 ≧（大於）：數值漸大，箭頭向 右邊 發射（火箭往右飛）！
• ＜ 或 ≦（小於）：數值漸小，箭頭向 左邊 爬行（烏龜往左爬）！
3
【夾心餅乾畫法（雙邊不等式）】：
如 2 ≦ x ＜ 7：
在 2 處畫 實心圓圈，在 7 處畫 空心圓圈，將兩端點之間的數線塗粗連結！
如 2 ≦ x ＜ 7：
在 2 處畫 實心圓圈，在 7 處畫 空心圓圈，將兩端點之間的數線塗粗連結！
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【即時挑戰 3】：
(1) 根據各數線圖的特徵填空寫出對應的不等式：
• Ⓐ 在 5 處畫空心圈，箭頭向右折線發射：【x ＞ 5】。
• Ⓑ 在 －3 處畫實心圈，箭頭向左折線爬行：【x ≦ －3】。
• Ⓒ 在 2 處實心圈、7 處空心圈，中間線段塗粗：【2 ≦ x ＜ 7】。
(2) 判斷下列各數是否在不等式 －2 ≦ x ＜ 3 的解範圍內（填「是」或「否」）：
• x ＝ －2：【是】（實心包含端點）
• x ＝ 0：【是】
• x ＝ 3：【否】（空心不包含端點）
• x ＝ 2.9：【是】
(1) 根據各數線圖的特徵填空寫出對應的不等式：
• Ⓐ 在 5 處畫空心圈，箭頭向右折線發射：【x ＞ 5】。
• Ⓑ 在 －3 處畫實心圈，箭頭向左折線爬行：【x ≦ －3】。
• Ⓒ 在 2 處實心圈、7 處空心圈，中間線段塗粗：【2 ≦ x ＜ 7】。
(2) 判斷下列各數是否在不等式 －2 ≦ x ＜ 3 的解範圍內（填「是」或「否」）：
• x ＝ －2：【是】（實心包含端點）
• x ＝ 0：【是】
• x ＝ 3：【否】（空心不包含端點）
• x ＝ 2.9：【是】
【教師教學導引 & 核心提問】：
• 空心與實心視覺口訣：肚子空空（沒等號，不含該點）畫空心圈；肚子吃飽飽黑黑的（有等號，包含該點）畫實心圈。
• 箭頭方向概念：數線上右大左小。大於向右發射火箭（數值漸大），小於向左爬烏龜（數值漸小）。
• 端點檢驗能力：在 －2 ≦ x ＜ 3 中，－2 是解（實心包含），3 不是解（空心排除）。
• 空心與實心視覺口訣：肚子空空（沒等號，不含該點）畫空心圈；肚子吃飽飽黑黑的（有等號，包含該點）畫實心圈。
• 箭頭方向概念：數線上右大左小。大於向右發射火箭（數值漸大），小於向左爬烏龜（數值漸小）。
• 端點檢驗能力：在 －2 ≦ x ＜ 3 中，－2 是解（實心包含），3 不是解（空心排除）。
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任務四
不等式的解與生活檢驗（大天平代入檢驗與會考挑戰）
【核心任務情境】：大天平尋寶！誰才是真正的解？
天平左盤放了 2 個裝有未知重量 x 的盒子加上一個 3kg 砝碼，右盤放了 23kg 基準砝碼。
若左邊要大於或等於右邊（3x ＋ 3 ≧ 23）：
(1) 什麼叫做不等式的「解」？
(2) 熊掌放入 x ＝ 5，算式為 3×5＋3 ＝ 18，為什麼天平會傾斜失敗（x＝5 不是解）？
(3) （會考精選）七年五班全班 28 人投票，同意人數 x 人需「超過全班半數」提案才通過，求 x 的可能範圍？
天平左盤放了 2 個裝有未知重量 x 的盒子加上一個 3kg 砝碼，右盤放了 23kg 基準砝碼。
若左邊要大於或等於右邊（3x ＋ 3 ≧ 23）：
(1) 什麼叫做不等式的「解」？
(2) 熊掌放入 x ＝ 5，算式為 3×5＋3 ＝ 18，為什麼天平會傾斜失敗（x＝5 不是解）？
(3) （會考精選）七年五班全班 28 人投票，同意人數 x 人需「超過全班半數」提案才通過，求 x 的可能範圍？
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大天平代入檢驗與底線標準
💡 偵探白話筆記
檢驗心法與會考防呆
1
【什麼是不等式的「解」】：
把一個特定數值代入未知數 x，如果能使不等式 成立（成為真話），這個數就是不等式的一個「解」！
把一個特定數值代入未知數 x，如果能使不等式 成立（成為真話），這個數就是不等式的一個「解」！
2
【大天平代入檢驗法】：
檢驗 x ＝ 5 是否為 3x ＋ 3 ≧ 23 的解：
左盤總重：3 × 5 ＋ 3 ＝ 18 kg；右盤標準：23 kg。
因為 18 ＜ 23（太輕了天平翹起來），不滿足 ≧ 23，故 x ＝ 5 不是 解！
檢驗 x ＝ 5 是否為 3x ＋ 3 ≧ 23 的解：
左盤總重：3 × 5 ＋ 3 ＝ 18 kg；右盤標準：23 kg。
因為 18 ＜ 23（太輕了天平翹起來），不滿足 ≧ 23，故 x ＝ 5 不是 解！
3
【解有無限多個（連續範圍）】：
不等式的解通常是一整個 連續範圍！
若代入 x ＝ 7：3(7) ＋ 3 ＝ 24 ≧ 23（成立），所以 7 是 解！
不等式的解通常是一整個 連續範圍！
若代入 x ＝ 7：3(7) ＋ 3 ＝ 24 ≧ 23（成立），所以 7 是 解！
4
【會考投票人數防呆照妖鏡】：
全班 28 人，一半為 28 × 1/2 ＝ 14 人。
• 超過半數：x ＞ 14。
• 班級上限：同意人數最多為全班總人數 28 人（x ≦ 28）。
• 完整範圍：14 ＜ x ≦ 28（x 為整數）。
全班 28 人，一半為 28 × 1/2 ＝ 14 人。
• 超過半數：x ＞ 14。
• 班級上限：同意人數最多為全班總人數 28 人（x ≦ 28）。
• 完整範圍：14 ＜ x ≦ 28（x 為整數）。
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【即時挑戰 4】：
(1) 檢驗下列各數何者是不等式 2x － 1 ＞ 7 的解（填「是」或「否」）：
• x ＝ 3 → 2(3) － 1 ＝ 5 ＞ 7（不成立）：【否】。
• x ＝ 4 → 2(4) － 1 ＝ 7 ＞ 7（7 沒有大於 7）：【否】。
• x ＝ 5 → 2(5) － 1 ＝ 9 ＞ 7（成立）：【是】。
(2) （會考精選）某網路書城白金會員為「消費累積 5000 元以上（含），未滿 8000 元」。若小昱消費累積 x 元且是白金會員：
• 「5000 元以上（含）」列式：【x ≧ 5000】。
• 「未滿 8000 元」列式：【x ＜ 8000】。
• 合併表示 x 的範圍為：【5000 ≦ x ＜ 8000】。
(3) 若某三角形的三邊長分別為 3、5、x，則根據三角形三邊長定理，x 的範圍為 【2 ＜ x ＜ 8】。
(提示：兩邊之差 ＜ 第三邊 ＜ 兩邊之和，5 － 3 ＜ x ＜ 5 ＋ 3)
(1) 檢驗下列各數何者是不等式 2x － 1 ＞ 7 的解（填「是」或「否」）：
• x ＝ 3 → 2(3) － 1 ＝ 5 ＞ 7（不成立）：【否】。
• x ＝ 4 → 2(4) － 1 ＝ 7 ＞ 7（7 沒有大於 7）：【否】。
• x ＝ 5 → 2(5) － 1 ＝ 9 ＞ 7（成立）：【是】。
(2) （會考精選）某網路書城白金會員為「消費累積 5000 元以上（含），未滿 8000 元」。若小昱消費累積 x 元且是白金會員：
• 「5000 元以上（含）」列式：【x ≧ 5000】。
• 「未滿 8000 元」列式：【x ＜ 8000】。
• 合併表示 x 的範圍為：【5000 ≦ x ＜ 8000】。
(3) 若某三角形的三邊長分別為 3、5、x，則根據三角形三邊長定理，x 的範圍為 【2 ＜ x ＜ 8】。
(提示：兩邊之差 ＜ 第三邊 ＜ 兩邊之和，5 － 3 ＜ x ＜ 5 ＋ 3)
【教師教學導引 & 核心提問】：
• 代入檢驗的核心：將數字代入未知數，檢驗算出的不等關係是否為真（成立）。
• 生活情境的隱含條件：班級投票同意人數超過半數（＞14），但學生容易忽略上限不能超過全班 28 人（≦28），需引導學生建立完整雙邊不等式。
• 三角形三邊長定理：兩邊之和大於第三邊、兩邊之差小於第三邊（兩邊差 ＜ 第三邊 ＜ 兩邊和）。
• 代入檢驗的核心：將數字代入未知數，檢驗算出的不等關係是否為真（成立）。
• 生活情境的隱含條件：班級投票同意人數超過半數（＞14），但學生容易忽略上限不能超過全班 28 人（≦28），需引導學生建立完整雙邊不等式。
• 三角形三邊長定理：兩邊之和大於第三邊、兩邊之差小於第三邊（兩邊差 ＜ 第三邊 ＜ 兩邊和）。