任務一
不等式的加減運算與移項法則（同加同減方向不變、搬家變號）
【核心任務情境】：數線排隊與平移大考驗
在數線上，已知怪獸 a 站在怪獸 b 的右邊（a ＞ b）：
(1) 若兩隻怪獸同時向右跳 2 格（同加 2），得到 b ＋ 2 與 a ＋ 2，誰依然在右邊？不等號方向有改變嗎？
(2) 若兩隻怪獸同時向左退 6 格（同減 6），得到 b － 6 與 a － 6，大小關係會改變嗎？
(3) 解一元一次不等式 x － 7 ≦ 12 時，如何利用「加減移項法則（搬家變號）」求出 x 的範圍？
在數線上，已知怪獸 a 站在怪獸 b 的右邊（a ＞ b）：
(1) 若兩隻怪獸同時向右跳 2 格（同加 2），得到 b ＋ 2 與 a ＋ 2，誰依然在右邊？不等號方向有改變嗎？
(2) 若兩隻怪獸同時向左退 6 格（同減 6），得到 b － 6 與 a － 6，大小關係會改變嗎？
(3) 解一元一次不等式 x － 7 ≦ 12 時，如何利用「加減移項法則（搬家變號）」求出 x 的範圍？
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數線平移排隊順序不變
💡 偵探白話筆記
加減法則心法大解密
1
【加減公理：同進同退】：
不等式兩邊同時加上或減去同一個數，數線上的相對位置保持不變，大小關係 ！
若 a ＞ b，則 a ＋ c b ＋ c，且 a － c b － c。
不等式兩邊同時加上或減去同一個數，數線上的相對位置保持不變，大小關係 ！
若 a ＞ b，則 a ＋ c b ＋ c，且 a － c b － c。
2
【加減移項法則（搬家換衣服）】：
解不等式時，「加減移項」跟解方程式完全一樣：
把「＋」搬到另一邊變成「－」，把「－」搬到另一邊變成「＋」，此時不等號的方向 ！
解不等式時，「加減移項」跟解方程式完全一樣：
把「＋」搬到另一邊變成「－」，把「－」搬到另一邊變成「＋」，此時不等號的方向 ！
3
【解題示範（x － 7 ≦ 12）】：
將左邊的「－7」搬家移到右邊變成「 」：
x ≦ 12 ＋ 7 ⇒ 化簡得 x ≦ ！
將左邊的「－7」搬家移到右邊變成「 」：
x ≦ 12 ＋ 7 ⇒ 化簡得 x ≦ ！
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【即時挑戰 1】：
(1) 移項基本功填空：
• x － 8 ＞ 10 ⇒ x ＞ 10 【 】 ⇒ x ＞ 【 】。
• x ＋ 15 ≦ 6 ⇒ x ≦ 6 【 】 ⇒ x ≦ 【 】。
• －4 ＋ x ≧ 11 ⇒ x ≧ 11 【 】 ⇒ x ≧ 【 】。
(2) 若 a ＜ b，請在下列空格填入正確的不等號（＞ 或 ＜）：
• a ＋ 100 【 】 b ＋ 100
• a － 50 【 】 b － 50
(3) 不等式 x ＞ 5 的圖解中，在 5 處畫空心圈，折線箭頭應朝【 】（填「向左」或「向右」）。
(1) 移項基本功填空：
• x － 8 ＞ 10 ⇒ x ＞ 10 【 】 ⇒ x ＞ 【 】。
• x ＋ 15 ≦ 6 ⇒ x ≦ 6 【 】 ⇒ x ≦ 【 】。
• －4 ＋ x ≧ 11 ⇒ x ≧ 11 【 】 ⇒ x ≧ 【 】。
(2) 若 a ＜ b，請在下列空格填入正確的不等號（＞ 或 ＜）：
• a ＋ 100 【 】 b ＋ 100
• a － 50 【 】 b － 50
(3) 不等式 x ＞ 5 的圖解中，在 5 處畫空心圈，折線箭頭應朝【 】（填「向左」或「向右」）。
💡 偵探解題小錦囊：
• 遇到「＋」搬過橋就變「－」，遇到「－」搬過橋就變「＋」，不等號就像定海神針，方向絕不轉彎！
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任務二
乘除運算大不同——乘除「負數」大掉頭（🚨 全冊最高危險雷區！）
【核心任務情境】：遇見負號警示牌！不等號大迴轉
小怪獸駕駛著汽車在不等式公路上前進，原本 6 ＞ 2：
(1) 兩邊同時乘以正數 3：6 × 3 ＝ 18，2 × 3 ＝ 6。因為 18 ＞ 6，不等號方向有改變嗎？
(2) 🚨 兩邊同時乘以負數 －1：6 × (－1) ＝ －6，2 × (－1) ＝ －2。
在數線上 －6 站在 －2 的左邊（－6 ＜ －2），不等號發生了什麼重大變化？
(3) 解不等式 －3x ＞ 12 時，最後一步兩邊同除以 －3，求出 x 的範圍？
小怪獸駕駛著汽車在不等式公路上前進，原本 6 ＞ 2：
(1) 兩邊同時乘以正數 3：6 × 3 ＝ 18，2 × 3 ＝ 6。因為 18 ＞ 6，不等號方向有改變嗎？
(2) 🚨 兩邊同時乘以負數 －1：6 × (－1) ＝ －6，2 × (－1) ＝ －2。
在數線上 －6 站在 －2 的左邊（－6 ＜ －2），不等號發生了什麼重大變化？
(3) 解不等式 －3x ＞ 12 時，最後一步兩邊同除以 －3，求出 x 的範圍？
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遇見負號警示牌！不等號大迴轉
💡 偵探白話筆記
乘除變號照妖鏡
1
【乘除正數（安全綠燈，維持方向）】：
兩邊同乘或同除以同一個「正數」，原本大的依然大！
若 a ＞ b 且 c ＞ 0，則 ac ＞ bc 且 a÷c ＞ b÷c，方向 ！
兩邊同乘或同除以同一個「正數」，原本大的依然大！
若 a ＞ b 且 c ＞ 0，則 ac ＞ bc 且 a÷c ＞ b÷c，方向 ！
2
【🚨 乘除負數（紅燈警報！大翻轉）】：
兩邊同乘或同除以同一個「負數」時，正負性質反轉，不等號必須 ！
• ＞ 必須翻轉成 【 】 • ＜ 必須翻轉成 【 】
• ≧ 必須翻轉成 【 】 • ≦ 必須翻轉成 【 】
兩邊同乘或同除以同一個「負數」時，正負性質反轉，不等號必須 ！
• ＞ 必須翻轉成 【 】 • ＜ 必須翻轉成 【 】
• ≧ 必須翻轉成 【 】 • ≦ 必須翻轉成 【 】
3
【實戰避坑示範（－3x ＞ 12）】：
要消掉 x 前面的「－3」，兩邊必須【 】！
🚨 警報響起！不等號從 ＞ 大掉頭變成【 】！
⇒ 答案：x ＜ 12 ÷ (－3) ⇒ x ＜ 【 】。
要消掉 x 前面的「－3」，兩邊必須【 】！
🚨 警報響起！不等號從 ＞ 大掉頭變成【 】！
⇒ 答案：x ＜ 12 ÷ (－3) ⇒ x ＜ 【 】。
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【即時挑戰 2】：
(1) 判斷下列運算後的不等號方向（填「＞」或「＜」）：
• 若 a ＞ b，則 5a 【 】 5b（同乘正 5，方向不變）。
• 若 a ＞ b，則 －3a 【 】 －3b（同乘負 3，大掉頭！）。
• 若 a ＜ b，則 a ÷ (－2) 【 】 b ÷ (－2)（同除負 2，大掉頭！）。
(2) 關鍵求解挑戰（注意是否需要轉向！）：
• 4x ＞ －20 ⇒ x 【 】 【 】（除以正 4，不轉向）。
• －5x ≧ 35 ⇒ x 【 】 【 】（除以負 5，必須轉向！）。
• －x3 ＜ 4 ⇒ x 【 】 【 】（同乘負 3，必須轉向！）。
(1) 判斷下列運算後的不等號方向（填「＞」或「＜」）：
• 若 a ＞ b，則 5a 【 】 5b（同乘正 5，方向不變）。
• 若 a ＞ b，則 －3a 【 】 －3b（同乘負 3，大掉頭！）。
• 若 a ＜ b，則 a ÷ (－2) 【 】 b ÷ (－2)（同除負 2，大掉頭！）。
(2) 關鍵求解挑戰（注意是否需要轉向！）：
• 4x ＞ －20 ⇒ x 【 】 【 】（除以正 4，不轉向）。
• －5x ≧ 35 ⇒ x 【 】 【 】（除以負 5，必須轉向！）。
• －x3 ＜ 4 ⇒ x 【 】 【 】（同乘負 3，必須轉向！）。
💡 偵探解題小錦囊：
• 🚨 紅燈警報：只要最後一步未知數前面的係數是「負數」，除過去的瞬間，不等號立刻大翻轉（＞ 變 ＜，≦ 變 ≧）！
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任務三
解一元一次不等式黃金 SOP 四部曲（去分母、去括號、移項化簡）
【核心任務情境】：魔法棒消滅分母怪獸！
解複雜不等式：13x ＋ 56 ＜ 5 － 12x。
(1) 看到分母 3、6、2 覺得很討厭，施展魔法棒「兩邊同乘最小公倍數 6」會發生什麼事？
(2) 去分母時，沒有分母的常數項「5」要不要乘以 6？
(3) 請按照黃金 SOP 四步驟：去分母 o 去括號 o 移項化簡 o 求出解並畫在數線上！
解複雜不等式：13x ＋ 56 ＜ 5 － 12x。
(1) 看到分母 3、6、2 覺得很討厭，施展魔法棒「兩邊同乘最小公倍數 6」會發生什麼事？
(2) 去分母時，沒有分母的常數項「5」要不要乘以 6？
(3) 請按照黃金 SOP 四步驟：去分母 o 去括號 o 移項化簡 o 求出解並畫在數線上！
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魔法棒消滅分母怪獸，砰！化身整數
💡 偵探白話筆記
解題黃金四步破案梯
1
【第一步：去分母（魔法棒出動）】：
找分母 3、6、2 的公倍數，兩邊【 6】！
🚨 提醒：每一項都要乘，常數項 5 × 6 ＝ 【 】絕不能漏乘！
原式化為：2x ＋ 5 ＜ 30 － 3x。
找分母 3、6、2 的公倍數，兩邊【 6】！
🚨 提醒：每一項都要乘，常數項 5 × 6 ＝ 【 】絕不能漏乘！
原式化為：2x ＋ 5 ＜ 30 － 3x。
2
【第二步：去括號（防護罩分配律）】：
若有括號，用【 】乘進去；遇到括號前是負號，裡面每一項都要【 】！
若有括號，用【 】乘進去；遇到括號前是負號，裡面每一項都要【 】！
3
【第三步：移項整理（家族分邊）】：
將未知數 x 搬到左邊，常數搬到右邊（ ）：
2x ＋ 3x ＜ 30 － 5 ⇒ 5x ＜ 25。
將未知數 x 搬到左邊，常數搬到右邊（ ）：
2x ＋ 3x ＜ 30 － 5 ⇒ 5x ＜ 25。
4
【第四步：同除係數（檢查轉向）】：
兩邊同除以 5（5 是正數， ），得 x ＜ 【 】！
數線圖示：在 5 處畫【 】，折線箭頭【 】發射。
兩邊同除以 5（5 是正數， ），得 x ＜ 【 】！
數線圖示：在 5 處畫【 】，折線箭頭【 】發射。
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【即時挑戰 3】：
(1) 解不等式 3(2x － 1) ≦ 4x ＋ 7：
• 步驟一（去括號）：【 】 ≦ 4x ＋ 7。
• 步驟二（移項整理）：6x － 4x ≦ 7 【 】 ⇒ 2x ≦ 【 】。
• 步驟三（求解）：x ≦ 【 】。
(2) 解不等式 x － 12 ＞ x ＋ 33：
• 兩邊同乘 6（分子加上防護罩）：【 】 ＞ 【 】。
• 去括號：3x － 3 ＞ 2x ＋ 6。
• 移項整理得：x ＞ 【 】。
(3) 若題目為 x ≦ 5，則在數線上 5 處應畫【 】（填「實心圈」或「空心圈」）。
(1) 解不等式 3(2x － 1) ≦ 4x ＋ 7：
• 步驟一（去括號）：【 】 ≦ 4x ＋ 7。
• 步驟二（移項整理）：6x － 4x ≦ 7 【 】 ⇒ 2x ≦ 【 】。
• 步驟三（求解）：x ≦ 【 】。
(2) 解不等式 x － 12 ＞ x ＋ 33：
• 兩邊同乘 6（分子加上防護罩）：【 】 ＞ 【 】。
• 去括號：3x － 3 ＞ 2x ＋ 6。
• 移項整理得：x ＞ 【 】。
(3) 若題目為 x ≦ 5，則在數線上 5 處應畫【 】（填「實心圈」或「空心圈」）。
💡 偵探解題小錦囊：
• 解題四部曲口訣：去分母（每一項乘 LCM）→ 去括號（防護罩分配律）→ 移項分家（未知數左數字右）→ 化為 1（係數負時大轉彎）！
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任務四
生活情境應用問題與整數解取捨（滿水危機與合理性取捨）
【核心任務情境】：玻璃珠滿水危機與生活素養挑戰
實驗室量杯的容量為 450 ml，原本杯中裝有 300 ml 的水：
(1) 放入 3 顆等重的玻璃珠（每顆體積 x ml），水面上升但「沒有滿（不到杯口）」；
(2) 再放入 2 顆相同玻璃珠和一個體積 20 ml 的小鐵塊，水面立刻「滿溢出來（超過杯口）」；
(3) 請依據兩個線索列出不等式，求出每顆玻璃珠體積 x 的可能範圍？若 x 為整數，最大值與最小值分別是多少？
實驗室量杯的容量為 450 ml，原本杯中裝有 300 ml 的水：
(1) 放入 3 顆等重的玻璃珠（每顆體積 x ml），水面上升但「沒有滿（不到杯口）」；
(2) 再放入 2 顆相同玻璃珠和一個體積 20 ml 的小鐵塊，水面立刻「滿溢出來（超過杯口）」；
(3) 請依據兩個線索列出不等式，求出每顆玻璃珠體積 x 的可能範圍？若 x 為整數，最大值與最小值分別是多少？
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三量杯偵探線索！夾擠出精準範圍
💡 偵探白話筆記
雙線索夾擠與整數取捨
1
【線索一：不到杯口（水＋3珠 ＜ 450）】：
原本 300 ml 水 ＋ 3 顆玻璃珠體積 3x：
300 ＋ 3x 【 】 ⇒ 3x ＜ 150 ⇒ x ＜ 【 】。
原本 300 ml 水 ＋ 3 顆玻璃珠體積 3x：
300 ＋ 3x 【 】 ⇒ 3x ＜ 150 ⇒ x ＜ 【 】。
2
【線索二：滿溢出來（總體積 ＞ 450）】：
全部共有 5 顆珠子 ＋ 鐵塊 20 ml：
300 ＋ 5x ＋ 20 【 】 ⇒ 5x ＞ 130 ⇒ x ＞ 【 】。
全部共有 5 顆珠子 ＋ 鐵塊 20 ml：
300 ＋ 5x ＋ 20 【 】 ⇒ 5x ＞ 130 ⇒ x ＞ 【 】。
3
【雙線索夾擠範圍】：
結合兩線索，每顆珠子體積 x 的範圍為：【 】！
結合兩線索，每顆珠子體積 x 的範圍為：【 】！
4
【生活合理性取捨（整數解天花板與地板）】：
若 x 為整數，則 x 可為 27, 28, ..., 49：
• 最大整數解（不能碰到 50）：【 】 ml。
• 最小整數解（不能碰到 26）：【 】 ml。
若 x 為整數，則 x 可為 27, 28, ..., 49：
• 最大整數解（不能碰到 50）：【 】 ml。
• 最小整數解（不能碰到 26）：【 】 ml。
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【即時挑戰 4】：
(1) 承接量杯問題，滿足 26 ＜ x ＜ 50 的整數解共有 【 】 個（算式：49 － 27 ＋ 1）。
(2) （會考精選團體票題）遊樂園個人票每張 200 元，滿 30 人可購買「團體票打 8 折（每張 160 元）」。某班共有 26 人想進場：
• 買 26 張個人票花費：200 × 26 ＝ 【 】 元。
• 買 30 張團體票（即使浪費 4 張）花費：160 × 30 ＝ 【 】 元。
• 買 30 張團體票反而比買個人票【 】（填「省」或「貴」）了 【 】 元！
(3) （預算上限題）小芳買了 4 杯每杯 45 元的珍珠奶茶，剩下錢想買每包 20 元的餅乾 x 包。若她總共只有 300 元：
• 依題意列出不等式：【 】。
• 化簡求解得 20x ≦ 120 ⇒ x ≦ 【 】。
• 小芳最多能買 【 】 包餅乾。
(1) 承接量杯問題，滿足 26 ＜ x ＜ 50 的整數解共有 【 】 個（算式：49 － 27 ＋ 1）。
(2) （會考精選團體票題）遊樂園個人票每張 200 元，滿 30 人可購買「團體票打 8 折（每張 160 元）」。某班共有 26 人想進場：
• 買 26 張個人票花費：200 × 26 ＝ 【 】 元。
• 買 30 張團體票（即使浪費 4 張）花費：160 × 30 ＝ 【 】 元。
• 買 30 張團體票反而比買個人票【 】（填「省」或「貴」）了 【 】 元！
(3) （預算上限題）小芳買了 4 杯每杯 45 元的珍珠奶茶，剩下錢想買每包 20 元的餅乾 x 包。若她總共只有 300 元：
• 依題意列出不等式：【 】。
• 化簡求解得 20x ≦ 120 ⇒ x ≦ 【 】。
• 小芳最多能買 【 】 包餅乾。
💡 偵探解題小錦囊：
• 生活應用題口訣：找關鍵字（沒有滿＜、滿溢出＞、最多≦、至少≧）→ 列式解範圍 → 檢驗生活合理性（整數解取捨）！