⋮⋮
🌐 🗺️
✏️ 畫筆工具
第二冊（七年級下學期） • 數位手帳塗鴉學習單
第二冊（七年級下學期） • 數位手帳塗鴉學習單
任務 01

我的數學塗鴉筆記：二元一次聯立方程式與生活列式 🍔🍟 🧭

班級：
座號：
姓名：
【偵探任務情境 01】
班級同學聚餐點餐趣 🍽️
小文和班上同學共 18 人 一起到美式餐廳聚餐。已知餐廳提供兩種特餐：
• A 特餐（漢堡餐）每份 85 元，點 A 餐的有 x 人。
• B 特餐（薯條餐）每份 95 元，點 B 餐的有 y 人。
每人剛好各點一份特餐，結帳時櫃台收銀機顯示總共花了 1640 元：
（1）請依據「用餐總人數」與「餐點總花費」列出二元一次聯立方程式！

👀 畫給你看 (100% 繁體中文情境圖解)

同學聚餐與收銀機列式手繪插圖
💡 怪獸偵探看圖心得：
• 大括號綁在一起：用「{」把兩個條件鎖在一起，表示 x 與 y 必須「同時滿足兩件事」！
• 人數關係式：一人點一份，x 個人加 y 個人剛好 18 人 → x ＋ y ＝ 18。
• 金額關係式：85 元買了 x 份、95 元買了 y 份 → 85x ＋ 95y ＝ 1640！

💡 偵探白話筆記 (思考步驟) （點擊空格顯現答案）

  • 第一步：抓住總人數條件

    點 A 餐 x 人加上點 B 餐 y 人等於 18 人：
    方程式一：x ＋ y ＝ 18。
  • 第二步：抓住總花費條件

    A 餐花費 85x 元，B 餐花費 95y 元，合計 1640 元：
    方程式二：85x ＋ 95y ＝ 1640。
  • 第三步：大括號合體寫出聯立式

    用左大括號將兩式綁在一起：
    聯立式：{ x ＋ y ＝ 18 , 85x ＋ 95y ＝ 1640 }。

🎯 換你露一手 (馬上練習)

1. 農場裡有雞 x 隻、兔子 y 隻。已知牠們頭數共 20 個、腳數共 56 隻：
• 依據「頭數」列式：x ＋ y ＝ 20。
• 依據「腳數」列式（雞 2 腳、兔 4 腳）：2x ＋ 4y ＝ 56。

2. 鉛筆每支 10 元、原子筆每支 15 元。小明買了兩種筆共 12 支，剛好花了 150 元：
• 依題意列出聯立方程式：{ x ＋ y ＝ 12 , 10x ＋ 15y ＝ 150 }。

觀念釐清小撇步：列二元一次聯立方程式時，題目通常隱藏『兩種獨立情境條件』（例如：數量關係與價錢關係、頭數與腳數）。引導學生用不同顏色畫筆圈出這兩組關鍵關係。
偵探自我檢核： [   ] 我能正確理解本題的解題核心觀念。 [   ] 我能細心驗算並確認答案的合理性。
觀念釐清小撇步：引導學生連結核心生活情境，用右側畫筆工具劃記重點步驟，點擊空格為學生揭曉答案。
任務 02

我的數學塗鴉筆記：萬能金鑰匙！聯立方程式的解 🗝️📦 🧭

班級：
座號：
姓名：
【偵探任務情境 02】
雙重封印的古代藏寶箱 💎
密室裡有兩座藏寶箱，寶箱上分別刻著二元一次方程式：
• 第一座寶箱：3x ＋ y ＝ 7
• 第二座寶箱：x － y ＝ 5
小偵探找到了三組數字鑰匙：甲組 (x, y) ＝ (2, 1)、乙組 (x, y) ＝ (4, －1)、丙組 (x, y) ＝ (3, －2)。
請檢驗：哪一組數字鑰匙才是能「同時打開兩座寶箱」的聯立方程式之解？

👀 畫給你看 (100% 繁體中文情境圖解)

萬能金鑰匙同時打開兩座寶箱手繪插圖
💡 怪獸偵探看圖心得：
• 雙重開鎖才算贏：聯立方程式的「解」，是一組數對 (x, y)，必須同時讓兩座寶箱的等號都成立！
• 只開一個不算解：如果只打開第一個寶箱，第二個打不開，就不是聯立方程式的解！
• 通關金鑰：把 x ＝ 3、y ＝ －2 同時代入兩式，兩邊都亮綠燈叮咚叮咚！

💡 偵探白話筆記 (思考步驟) （點擊空格顯現答案）

  • 第一步：檢驗甲鑰匙 (2, 1)

    第一座：3(2) ＋ 1 ＝ 7 (合)；
    第二座：2 － 1 ＝ 1 ≠ 5 (不合！)，結論：不是解。
  • 第二步：檢驗乙鑰匙 (4, －1)

    第一座：3(4) ＋ (－1) ＝ 11 ≠ 7 (不合！)，結論：不是解。
  • 第三步：檢驗丙鑰匙 (3, －2)

    第一座：3(3) ＋ (－2) ＝ 9 － 2 ＝ 7 (叮咚！成立)
    第二座：3 － (－2) ＝ 3 ＋ 2 ＝ 5 (叮咚！成立)
    兩座寶箱皆能打開，結論：丙組是聯立方程式的解！

🎯 換你露一手 (馬上練習)

1. 檢驗數對 (x, y) ＝ (1, 2) 是否為聯立方程式 { 2x ＋ y ＝ 4 , x － 3y ＝ －5 } 的解？
• 代入第一式：2(1) ＋ 2 ＝ 4 (成立)
• 代入第二式：1 － 3(2) ＝ 1 － 6 ＝ －5 (成立)
• 判定結果：是（填：是 / 不是）。

2. [會考歷屆考題特訓] 若 (x, y) ＝ (3, b) 是方程式 2x ＋ y ＝ 4 的解：
• 代入計算：2(3) ＋ b ＝ 4 → 6 ＋ b ＝ 4 → b ＝ －2。

觀念釐清小撇步：初學學生常在第一式成立時就誤以為找到了答案。教師可利用工具列紅綠畫筆，在第一式打勾、第二式打叉，強化『必須兩式同時成立才叫解』的核心概念！
偵探自我檢核： [   ] 我能正確理解本題的解題核心觀念。 [   ] 我能細心驗算並確認答案的合理性。
觀念釐清小撇步：引導學生連結核心生活情境，用右側畫筆工具劃記重點步驟，點擊空格為學生揭曉答案。
任務 03

我的數學塗鴉筆記：紙箱面具掉包計！代入消去法 🎭📦 🧭

班級：
座號：
姓名：
【偵探任務情境 03】
怪獸化妝舞會的真面目 🎭
解二元一次聯立方程式：
• 第一式：x ＝ y ＋ 2 …… ①
• 第二式：2x － 3y ＝ 4 …… ②
火柴人頭上戴著寫著「x」的紙箱面具，掀開紙箱，裡面的真面目其實是「y ＋ 2」！
請運用「代入消去法」，將 x 掉包替換，順利解出 x 與 y 的值！

👀 畫給你看 (100% 繁體中文情境圖解)

紙箱面具替換代入消去法手繪插圖
💡 怪獸偵探看圖心得：
• 看穿真面目：第一式偷偷透露祕密：x 的真身其實就是 (y ＋ 2)！
• 掉包計消去未知數：跑到第二個式子，把裡面的 x 抓出來，換成 (y ＋ 2) 塞進去！
• 二元瞬間變一元：算式變成 2(y ＋ 2) － 3y ＝ 4，只剩下 y，輕鬆解出一元一次方程式！

💡 偵探白話筆記 (思考步驟) （點擊空格顯現答案）

  • 第一步：掉包代入（記得加括號安全帽）

    將 ① 式代入 ② 式中的 x：
    新算式：2(y ＋ 2) － 3y ＝ 4。
  • 第二步：乘法分配律展開解出 y

    展開括號：2y ＋ 4 － 3y ＝ 4
    合併同類項：－y ＋ 4 ＝ 4 → －y ＝ 0 → y ＝ 0。
  • 第三步：代回求出另一個字母 x

    將 y ＝ 0 代回 ① 式：x ＝ 0 ＋ 2 ＝ 2。
    聯立方程式的解為：x ＝ 2 , y ＝ 0。

🎯 換你露一手 (馬上練習)

1. 利用代入消去法解聯立方程式 { y ＝ 2x － 1 , 3x ＋ 2y ＝ 12 }：
• 代入得一元方程式：3x ＋ 2(2x － 1) ＝ 12
• 展開計算：3x ＋ 4x － 2 ＝ 12 → 7x ＝ 14 → x ＝ 2。
• 代回求得：y ＝ 2(2) － 1 ＝ 3。

2. 利用代入消去法解聯立方程式 { x ＝ 3y , 2x － 5y ＝ 4 }：
• 代入展開：2(3y) － 5y ＝ 4 → 6y － 5y ＝ 4 → y ＝ 4。
• 代回求得：x ＝ 3(4) ＝ 12。

觀念釐清小撇步：當聯立方程式中有一條已經寫好『x ＝ ...』或『y ＝ ...』時，就是使用代入消去法的大好時機！強調代入時務必把整包放進括號中，分配律才不會漏乘。
偵探自我檢核： [   ] 我能正確理解本題的解題核心觀念。 [   ] 我能細心驗算並確認答案的合理性。
觀念釐清小撇步：引導學生連結核心生活情境，用右側畫筆工具劃記重點步驟，點擊空格為學生揭曉答案。
任務 04

我的數學塗鴉筆記：魔法雷射槍！加減消去法 🔫💥 🧭

班級：
座號：
姓名：
【偵探任務情境 04】
魔法雷射槍與煙霧爆炸抵銷 💥
解二元一次聯立方程式：
• 第一式：2x ＋ 5y ＝ －10 …… ①
• 第二式：5x － 3y ＝ 6 …… ②
式子裡的 x 與 y 係數都不一樣，無法直接相加或相減！
小怪獸拿出魔法雷射槍，如何透過「同乘放大」將係數變一樣大，讓其中一個未知數 POOF 煙霧爆炸消去？

👀 畫給你看 (100% 繁體中文情境圖解)

魔法雷射槍同乘爆炸消去法手繪插圖
💡 怪獸偵探看圖心得：
• 找最小公倍數：上面的 y 有 ＋5，下面的 y 有 －3，公倍數鎖定「15」！
• 雷射槍同乘放大：上面全部乘 3 變成 ＋15y，下面全部乘 5 變成 －15y！
• 異號相加 POOF 爆炸：＋15y 跟 －15y 正負剛好相加抵銷爆炸！剩下 31x ＝ 0，超乾淨！

💡 偵探白話筆記 (思考步驟) （點擊空格顯現答案）

  • 第一步：雷射槍同乘放大變一樣大

    ① 式全體乘 3：6x ＋ 15y ＝ －30 …… ③
    ② 式全體乘 5：25x － 15y ＝ 30 …… ④
  • 第二步：兩式相加 POOF 抵銷 y

    ③ ＋ ④ 兩式相加：
    (6x ＋ 25x) ＋ (15y － 15y) ＝ －30 ＋ 30
    化簡得：31x ＝ 0 → x ＝ 0。
  • 第三步：代回求出另一個字母 y

    將 x ＝ 0 代回 ① 式：2(0) ＋ 5y ＝ －10 → y ＝ －2。
    聯立方程式的解為：x ＝ 0 , y ＝ －2。

🎯 換你露一手 (馬上練習)

1. 利用加減消去法解聯立方程式 { 3x ＋ 2y ＝ 13 , 3x － 4y ＝ 1 }：
• 兩式相減消去 x：2y － (－4y) ＝ 13 － 1 → 6y ＝ 12 → y ＝ 2。
• 代回求得：3x ＋ 2(2) ＝ 13 → 3x ＝ 9 → x ＝ 3。

2. [段考魔王分數題型] 解聯立方程式： { x2 － y3 ＝ 3 , 3x2 ＋ y ＝ 3 }
• 第一式同乘 6：3x － 2y ＝ 18；第二式同乘 2：3x ＋ 2y ＝ 6。
• 兩式相加得 6x ＝ 24 → x ＝ 4；代回求得：y ＝ －3。

觀念釐清小撇步：同乘放大時，學生最常忘記把『等號右邊的常數項』也乘上倍數（例如只乘了左邊忘了右邊）。請教師用工具列螢光黃筆在等號右邊畫大圈圈提醒！
偵探自我檢核： [   ] 我能正確理解本題的解題核心觀念。 [   ] 我能細心驗算並確認答案的合理性。
觀念釐清小撇步：引導學生連結核心生活情境，用右側畫筆工具劃記重點步驟，點擊空格為學生揭曉答案。