【偵探任務情境 01】
請運用彩色筆找出關鍵線索，完成偵探任務！
👀 畫給你看 (100% 繁體中文情境圖解)
💡 怪獸偵探看圖心得：
• 看圖破案小秘訣：細心比對圖像中的數字與箭頭變化，動手標註重點！
💡 偵探白話筆記 (思考步驟) （隨堂動手填填看）
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二元一次方程式的圖形是什麼？
每個方程式 ax ＋ by ＝ c 都有 的數對解 (x, y)。當把所有解點在坐標平面上，它們會排成一條 ！
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線上與線外的秘密：
直線上的每一個點，都是該方程式的 ；如果不是方程式的解，絕對無法降落在這條線上！
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幾何黃金公理：
「 」！畫一條直線不需要找十個點，只要精準抓出「相異兩點」就足夠了！
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十字表格快取兩點法（找兩軸交點最輕鬆）：
• 令 x ＝ 0 代入算 y → 得到與 y 軸交點 。
• 令 y ＝ 0 代入算 x → 得到與 x 軸交點 。
• 用直尺將兩點連成一直線，兩端畫上箭頭表示向兩端無限延伸！
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【典範例題 1】 在坐標平面上畫出方程式
2x － y ＝ 4 的圖形，並判斷該直線不通過第幾象限？
【破案解鎖步驟】：
① 建立十字表格取兩軸交點：
• 令 x ＝ 0 代入：2(0) － y ＝ 4 → －y ＝ 4 → y ＝ ，得 y 軸交點 。
• 令 y ＝ 0 代入：2x － 0 ＝ 4 → 2x ＝ 4 → x ＝ ，得 x 軸交點 。
② 在平面上標出 (0, －4) 與 (2, 0)，拿直尺連成一直線。
③ 觀察直線走向：通過第 、第 、第 象限，★ 絕不通過第 象限！
觀念釐清小撇步：提醒初學同學畫十字表格時，分別令 x ＝ 0 與 y ＝ 0 最快速不易錯！畫直線時兩端務必畫出箭頭表示可以無限延伸，並非受限於兩點的線段。
【即時挑戰 1】
在坐標平面上畫出方程式 x ＋ 2y ＝ 6 的圖形：
(1) 此直線與 x 軸交點坐標為 ，與 y 軸交點坐標為 。
(2) 觀察直線圖形，此直線「不通過」第 象限。
(3) 檢驗點是否在直線上：
• 若點 P(a, 1) 在此直線上，將 y ＝ 1 代入得 x ＋ 2(1) ＝ 6 → a ＝ 。
• 請問點 Q(－2, 5) 是否在此直線上？答： (因為 (－2) ＋ 2(5) ＝ 8 ≠ 6)。
偵探自我檢核：
[ ] 我能正確理解本題的解題核心觀念。
[ ] 我能細心驗算並確認答案的合理性。
💡 破案提示小撇步：解題遇到卡關時，先看左邊手繪插圖，再按照三步驟動手填寫！
【偵探任務情境 02】
請運用彩色筆找出關鍵線索，完成偵探任務！
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 看圖破案小秘訣：細心比對圖像中的數字與箭頭變化，動手標註重點！
💡 偵探白話筆記 (思考步驟) （隨堂動手填填看）
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水平線 y ＝ k（等同 0x ＋ y ＝ k）：
• 不管 x 坐標是多少，高度 y 永遠等於 。
• 幾何外觀是一條平平躺著的 ，平行 x 軸、垂直 y 軸於 (0, k)。
• ⚠️ 天王級考點： 方程式 y ＝ 0 的圖形就是【 】！
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鉛垂線 x ＝ h（等同 x ＋ 0y ＝ h）：
• 不管 y 坐標搭到幾樓，左右 x 永遠等於 。
• 幾何外觀是一條直直站著的 ，平行 y 軸、垂直 x 軸於 (h, 0)。
• ⚠️ 天王級考點： 方程式 x ＝ 0 的圖形就是【 】！
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三秒口訣：
• 只看到 y → 橫切 y 軸成 （平行 x 軸）！
• 只看到 x → 直切 x 軸成 （平行 y 軸）！
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【典範例題 2】 觀察下列直線方程式，回答幾何圖形特徵：
(1) 方程式
y ＝ 5 的圖形是一條與 x 軸
、與 y 軸垂直於
的
線。
(2) 方程式
x ＝ －4 的圖形是一條與 y 軸
、與 x 軸垂直於
的
線。
(3) 兩直線 y ＝ 5 與 x ＝ －4 的交點坐標為
。
觀念釐清小撇步：『y ＝ 0 是 x 軸』與『x ＝ 0 是 y 軸』是全台國中段考最高頻混淆點！可強調：x 軸上的每個人高度都是 0（y＝0）；y 軸上的每個人左右都在中央（x＝0）。
【即時挑戰 2】
(1) 通過點 P(－3, 8) 且與 x 軸平行的直線 方程式為： 。
(2) 通過點 Q(4, －6) 且與 y 軸平行的直線 方程式為： 。
(3) 通過點 A(7, 2) 且與 x 軸垂直的直線 方程式為： 。
(4) 若點 A(5, －3) 到直線 x ＝ －1 的距離為 單位長。(提示：兩者左右相距 |5 － (－1)| ＝ 6，高度不影響距離)
偵探自我檢核：
[ ] 我能正確理解本題的解題核心觀念。
[ ] 我能細心驗算並確認答案的合理性。
💡 破案提示小撇步：解題遇到卡關時，先看左邊手繪插圖，再按照三步驟動手填寫！
【偵探任務情境 03】
請運用彩色筆找出關鍵線索，完成偵探任務！
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什麼是待定係數法？
題目給我們直線上經過的點，我們要假設直線方程式為 ，求出未知的 a 與 b！
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標準破案三部曲：
• 第一步：設通式 → 令直線為 y ＝ ax ＋ b。
• 第二步：點代入 → 把已知兩點坐標代入，列出二元一次 ！
• 第三步：解聯立 → 用加減消去法解出 a 與 b，寫回直線方程式！
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雷達秒殺快篩（兩點坐標有相同時）：
• 若兩點的 x 坐標相同（如 (3, 5) 與 (3, －2)）→ 必為鉛垂線，直接寫 ！
• 若兩點的 y 坐標相同（如 (－4, 7) 與 (6, 7)）→ 必為水平線，直接寫 ！
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圍成三角形面積：
直線與兩軸交於 (x, 0) 與 (0, y)，與兩軸圍成的三角形面積 ＝ (|x| × |y|) ÷ 2！
【偵探任務情境 04】
請運用彩色筆找出關鍵線索，完成偵探任務！
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世紀大結合（交點即解）：
解聯立方程式算出的 (x, y)，正是兩條直線在坐標平面上的【 】！
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想求交點？就是解聯立！
反過來說，若題目給了交點坐標，代表這個點可以「同時代入」兩條直線方程式！
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三種相遇命運（幾何狀態與解的關係）：
• 相交於一點： 斜率不同，兩線只碰面一次 → 聯立方程式 。
• 互相平行： 傾斜相同但位置不同，永遠不相碰 → 聯立方程式 。
• 重合為同一條線： 方程式本質完全相同 → 聯立方程式有 。
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【典範例題 4】 求兩直線
4x ＋ 3y ＝ 20 與
3x － 2y ＝ －2 的交點坐標：
【破案解鎖步驟】：
① 列出聯立方程式：
4x ＋ 3y ＝ 20 …… ①
3x － 2y ＝ －2 …… ②
② ① × 2 得：8x ＋ 6y ＝ 40 …… ③
③ ② × 3 得：9x － 6y ＝ －6 …… ④
④ ③ ＋ ④ 消去 y：17x ＝ 34 → x ＝ 。
⑤ 將 x ＝ 2 代入 ①：4(2) ＋ 3y ＝ 20 → 8 ＋ 3y ＝ 20 → 3y ＝ 12 → y ＝ 。
⑥ 兩直線交點坐標為： 。
觀念釐清小撇步：第 4 題帳篷面積是段考與會考的經典素養題！兩直線與 x 軸圍成的三角形，底邊長度是地面兩釘子的距離（大坐標減小坐標），高就是頂點交點的 y 坐標！
【即時挑戰 4】
(1) 兩直線 2x ＋ y ＝ 5 與 x － y ＝ 1 的交點坐標為 。
(2) 判斷下列聯立方程式圖形的幾何關係（填「相交於一點」、「互相平行」或「重合」）：
• Ⓐ 二元一次聯立方程組【2x － 3y ＝ 6 且 4x － 6y ＝ 12】→ 圖形關係為【 】。
• Ⓑ 二元一次聯立方程組【x ＋ 2y ＝ 4 且 2x ＋ 4y ＝ 5】→ 圖形關係為【 】。
(3)（會考延伸挑戰）若直線 L₁ 與 L₂ 的交點為 A(2, 4)，且兩直線與 x 軸分別交於 B(－3, 0) 與 C(5, 0)，則此兩直線與 x 軸所圍成的三角形面積為 平方單位。
(提示：帳篷面積法！底邊 BC ＝ 5 － (－3) ＝ 8，帳篷頂端高為 y 坐標 4，面積 ＝ 8 × 4 ÷ 2 ＝ 16)
偵探自我檢核：
[ ] 我能正確理解本題的解題核心觀念。
[ ] 我能細心驗算並確認答案的合理性。
💡 破案提示小撇步：解題遇到卡關時，先看左邊手繪插圖，再按照三步驟動手填寫！