【偵探任務情境 01】單項式乘法 🎯
計算 (-3x²) × (4x³)。係數與文字符號該如何分別計算？頭頂上的次方該怎麼合體？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：(axᵐ) × (bxⁿ) = (a × b)xᵐ⁺ⁿ
• 數字歸數字乘，文字歸文字乘！底數相同相乘時，頭頂上的帽子次方要相加！
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S 尋找線索 (Search)
算式：(-3x²) × (4x³)。
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T 轉譯關係 (Translate)
拆開結合律：[(-3) × 4] × (x² × x³)。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
數字部分：-3 × 4 = -12；文字部分：x² × x³ = x²⁺³ = x⁵。
答案：-12x⁵。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
檢查負號只有一個故為負；次方 2 + 3 = 5，不是 2 × 3 = 6，確認正確。
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【隨堂練功題】請計算下列單項式相乘：
1. (-3x²) × (5x³) ＝ (-3×5) × (x²⁺³) ＝ -15x⁵
2. (2x)² × (-4x) ＝ (4x²) × (-4x) ＝ -16x³
3. 係數與係數相乘，底數相同相乘則指數 相加。
偵探自我檢核：
[ ] 掌握指數律：xᵃ × xᵇ ＝ xᵃ⁺ᵇ，次方相加而不是相乘。
[ ] 注意負號與括號次方：(-2x)² ＝ 4x²，而 -2x² ＝ -2x²。
觀念釐清小撇步：學生最易把次方乘起來（誤寫成 x⁶），務必強調指數律同底相乘是「次數相加」。
【偵探任務情境 02】直式乘法分離係數 🎯
計算 (2x - 3)(3x² + x - 4)。除了橫式彩虹乘法展開外，如何使用直式乘法或「分離係數法」又快又準地算出來？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：(2x - 3)(3x² + x - 4) = 6x³ - 7x² - 11x + 12
• 分離係數法省時又乾淨！只抄數字不抄 x，算完之後再把 x 次方按降冪穿回去！
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S 尋找線索 (Search)
算式：(3x² + x - 4) × (2x - 3)。
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T 轉譯關係 (Translate)
分離係數法：被乘式寫 [3, 1, -4]，乘式寫 [2, -3]。
第一層 -3 乘上去：[-9, -3, 12]；第二層 2 乘上去（往左縮一格）：[6, 2, -8]。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
同位對齊相加：
[6, 2 - 9, -8 - 3, 12] = [6, -7, -11, 12]。
最高次方為 2+1=3 次，穿回文字：6x³ - 7x² - 11x + 12。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
橫式檢驗：2x(3x²+x-4) - 3(3x²+x-4) = 6x³+2x²-8x - 9x²-3x+12 = 6x³-7x²-11x+12，一致！
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【隨堂練功題】請利用直式或展開法計算 (2x + 3)(3x - 1)：
1. 展開過程：2x×(3x - 1) + 3×(3x - 1)
＝ (6x² - 2x) + (9x - 3)
＝ 6x² + 7x - 3
2. 若使用分離係數法直式，係數排列為 [2, 3] × [3, -1]，結果為 [6, 7, -3]。
偵探自我檢核：
[ ] 直式分離係數法時，缺項務必補 0，避免位數錯位。
[ ] 同類項 -2x 與 +9x 合併得 +7x，符號驗算正確。
觀念釐清小撇步：分離係數法極度實用，但提醒學生：若有缺項（如缺一次項），「務必補 0」，否則全題位移崩潰！
【偵探任務情境 03】除以單項式模型 🎯
計算 (6x³ - 4x² + 2x) ÷ (2x)。多項式除以單項式時，如何拆成各項分數個別約分？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：(A + B + C) ÷ D = A/D + B/D + C/D
• 公平分配律除法！分子每一項都要除以分母 2x，最後一項 2x/2x 等於 1，絕不能消失！
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S 尋找線索 (Search)
算式：(6x³ - 4x² + 2x) ÷ 2x。
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T 轉譯關係 (Translate)
拆成三個單項式分數相加減：(6x³/2x) - (4x²/2x) + (2x/2x)。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
第一項：6/2=3，x³/x=x² ➔ 3x²
第二項：-4/2=-2，x²/x=x ➔ -2x
第三項：2x/2x = 1
結果：3x² - 2x + 1（整除，餘式為 0）。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
驗算：2x × (3x² - 2x + 1) = 6x³ - 4x² + 2x，完全吻合原式。
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【隨堂練功題】請計算下列多項式除以單項式：
1. (12x³ - 8x²) ÷ (4x)
＝ 12x³4x － 8x²4x
＝ 3x² - 2x
2. (6x² + 9x) ÷ (3x) ＝ 2x + 3
偵探自我檢核：
[ ] 每一項都要除以分母的單項式，如同分發披薩每個人都要分到。
[ ] 未知數次方相除時指數相減：x³ ÷ x¹ ＝ x²。
觀念釐清小撇步：學生最常在最後一項寫成 0（以為約掉就沒有了），務必提醒任何數除以自身等於 1。
【偵探任務情境 04】長除法四部曲 🎯
計算 (2x² + 5x - 3) ÷ (x + 3) 的商式與餘式，並寫出「被除式 = 除式 × 商式 + 餘式」的驗算關係式。
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：被除式 = 除式 × 商式 + 餘式 （餘式次數 < 除式次數）
• 長除法四步驟：估算首項、相乘展開、上下相減、降下後項。注意減法要變號！
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S 尋找線索 (Search)
被除式 2x² + 5x - 3，除式 x + 3。
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T 轉譯關係 (Translate)
長除法四步循環：
1. 估商：2x² ÷ x = 2x。
2. 乘：2x × (x + 3) = 2x² + 6x。
3. 減：(2x² + 5x) - (2x² + 6x) = -x。
4. 降：降下 -3 變成 -x - 3。
5. 二次估商：-x ÷ x = -1，相乘得 -x - 3，相減得 0。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
商式 Q = 2x - 1，餘式 R = 0。
除法關係式：2x² + 5x - 3 = (x + 3)(2x - 1)。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
餘式為 0 且次數小於除式（一次式），驗算相乘展開無誤。
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【隨堂練功題】計算 (2x² + 7x + 5) ÷ (x + 2) 之商式與餘式：
1. 進行長除法：首項 2x² ÷ x ＝ 2x，相減得 3x + 5；次項 3x ÷ x ＝ 3，相減得 -1。
2. 商式 ＝ 2x + 3，餘式 ＝ -1。
3. 除法原理驗算：被除式 ＝ 除式 × 商式 ＋ 餘式。
偵探自我檢核：
[ ] 餘式的次數必須嚴格小於除式的次數（除式一次，餘式必為零次常數）。
[ ] 長除法相減時，小心第二層符號要變號（減負變加）。
觀念釐清小撇步：強調餘式定理準則：餘式的次數「必須嚴格小於」除式的次數，若除式是一次式，餘式必為常數。