【偵探任務情境 01】根式乘除運算法則 🎯
計算 √3 × √5 與 (2√6) × (3√2)。當根號外面有係數時，該如何遵循「外乘外、內乘內」的運算準則？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：√a × √b = √(ab) ； (c√a) × (d√b) = (c×d)√(a×b)
• 外乘外、內乘內！外面數字乘外面，根號裡面乘裡面，最後記得化簡最簡根式！
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S 尋找線索 (Search)
計算 (2√6) × (3√2)。
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T 轉譯關係 (Translate)
外面的係數相乘：2 × 3 = 6；根號裡面的數相乘：√(6 × 2) = √12。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
原式 = 6√12。
化簡 √12 = √(4 × 3) = 2√3。
最終答案 = 6 × (2√3) = 12√3。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
除法同理：√15 ÷ √3 = √(15÷3) = √5；(6√8) ÷ (2√2) = (6÷2)√(8÷2) = 3√4 = 6。
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【隨堂練功題】請計算下列根式乘除（外乘外、內乘內）：
1. 2√3 × 5√2 ＝ (2×5)√(3×2) ＝ 10√6
2. √30 ÷ √5 ＝ √(30÷5) ＝ √6
3. 4√15 ÷ 2√3 ＝ (4÷2)√(15÷3) ＝ 2√5
偵探自我檢核：
[ ] 口訣清晰：外面整數跟外面相乘除，根號裡面跟裡面相乘除。
[ ] 相除若可約分先約分，數字變小計算更輕鬆。
觀念釐清小撇步：提醒學生相乘後若數字很大，可以在根號內「先因數分解」再提公倍數，避免大數字相乘計算困難。
【偵探任務情境 02】最簡根式三不原則 🎯
數學界有嚴格的整潔戒律：最簡根式「三不原則」。下列何者不是最簡根式？√18、√(3/4)、2/√5。該如何逐一淨化？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：最簡根式：①根號內無平方因數 ②根號內無分數 ③分母不帶根號
• 最簡根式三不原則：不留平方、不留分數、分母不留根號！乾乾淨淨才及格！
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S 尋找線索 (Search)
檢視 √18、√(3/4)、2/√5 是否符合最簡根式標準。
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T 轉譯關係 (Translate)
套用三不原則篩檢：
1. √18 含有平方因數 9 (3²)，化簡為 3√2。
2. √(3/4) = √3 / √4 = (√3)/2。
3. 2/√5 分母帶有根號，需進行分母有理化。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
三式化簡結果：
√18 = 3√2；
√(3/4) = (√3)/2；
2/√5 = (2√5)/5。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
檢查化簡後：根號內皆為質數（2、3、5），且分母皆為整數，均達最簡。
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【隨堂練功題】將下列根式化為最簡根式：
1. √72 ＝ √(36×2) ＝ 6√2
2. √48 ＝ √(16×3) ＝ 4√3
3. 最簡根式三不原則：根號內不可有 完全平方數，不可有 分數，分母不可有 根號。
偵探自我檢核：
[ ] 質因數分解：兩個相同的因數可以合成一隻『走出來』！
[ ] 徹底化簡到根號內不再有大於 1 的平方因數。
觀念釐清小撇步：分母有理化是考題核心，強調分子分母同乘分母的根式，值保持不變。
【偵探任務情境 03】分母有理化技巧 🎯
計算 6/√3 與 2/(√5 - 1)。單項根號與雙項根號在進行分母有理化時，分別要使用什麼法寶？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：單項：同乘 √a ； 雙項：利用平方差 (√a - b)(√a + b) = a - b²
• 消滅分母根號！單項上下同乘自己，雙項找平方差好搭檔 (一加配一減)，分母立刻變整數！
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S 尋找線索 (Search)
分別計算 (1) 6/√3 與 (2) 2/(√5 - 1) 的有理化。
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T 轉譯關係 (Translate)
(1) 單項：分子分母同乘 √3 ➔ (6 × √3) / (√3 × √3) = (6√3)/3 = 2√3。
(2) 雙項：分子分母同乘 (√5 + 1)。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
雙項算式：
[2(√5 + 1)] / [(√5 - 1)(√5 + 1)]
= [2(√5 + 1)] / [(√5)² - 1²]
= [2(√5 + 1)] / (5 - 1)
= [2(√5 + 1)] / 4 = (√5 + 1)/2。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
驗算：分母成功化為有理數 2，根號只留在分子，化簡完畢。
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【隨堂練功題】請進行分母有理化：
1. 6√3 ＝ 6×√3√3×√3 ＝ 6√33 ＝ 2√3
2. 10√5 ＝ 2√5
3. 1√3 + 1 ＝ √3 - 1(√3+1)(√3-1) ＝ √3 - 12
偵探自我檢核：
[ ] 單項分母有理化：分子分母同乘分母的根號（√b × √b = b）。
[ ] 雙項分母有理化：利用平方差公式同乘共軛根式 (√a - b)。
觀念釐清小撇步：提醒學生：雙項擴分時「分子記得加括號乘進去」，且最後一定要檢查是否能和分母約分。
【偵探任務情境 04】同類方根加減四則 🎯
計算 √12 + √27 - 3√3。為什麼看似不同的根號，化簡後竟然可以像同類項一樣合併相加？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：同類方根：化為最簡根式後，被開方數相同者（如 2√3, 3√3）可合併
• 先化簡、再合併！把所有根號先化到最簡，只要根號裡面一樣，就可以把係數加減！
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S 尋找線索 (Search)
算式：√12 + √27 - 3√3。
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T 轉譯關係 (Translate)
第一步：先將各項化為最簡根式：
√12 = √(4 × 3) = 2√3
√27 = √(9 × 3) = 3√3
第三項為 -3√3。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
第二步：同類方根係數合併：
原式 = 2√3 + 3√3 - 3√3 = (2 + 3 - 3)√3 = 2√3。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
檢查：√12 與 √27 都是 √3 的同類方根，係數加減 2+3-3=2 正確。
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【隨堂練功題】請計算下列同類方根加減：
1. 3√5 + 7√5 - 2√5 ＝ (3 + 7 - 2)√5 ＝ 8√5
2. √12 + √27 ＝ 2√3 + 3√3 ＝ 5√3
3. 注意：√2 + √3 不能 合併成 √5（不同類方根不可直接相加！）。
偵探自我檢核：
[ ] 先將每一個根式化為最簡根式，再尋找同類方根合併。
[ ] 就像 2x + 3x = 5x，同類方根相加減只動外面係數。
觀念釐清小撇步：常犯錯誤：很多同學直接將根號內相加 √12 + √27 = √39（大錯特錯！），務必強調非乘法不可直接相加。