【偵探任務情境 01】平方根求解模型 🎯
解方程式 (x - 2)² = 9 與 (2x + 1)² = 5。當方程式左邊已經是「完全平方式」時，如何直接利用平方根開方求解？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：若 (x + p)² = q (q ≥ 0)，則 x + p = ±√q ➔ x = -p ± √q
• 左邊脫掉平方帽子，右邊立刻戴上 ± 根號！移項解出兩個根，乾淨俐落！
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S 尋找線索 (Search)
解 (1) (x - 2)² = 9 ； (2) (2x + 1)² = 5。
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T 轉譯關係 (Translate)
(1) 兩邊開平方根：x - 2 = ±√9 = ±3。
(2) 兩邊開平方根：2x + 1 = ±√5。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
(1) x = 2 ± 3 ➔ x = 2 + 3 = 5 或 x = 2 - 3 = -1。
(2) 2x = -1 ± √5 ➔ x = (-1 ± √5) / 2。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
代入驗算：(5-2)² = 3² = 9；(-1-2)² = (-3)² = 9，兩解均正確。
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【隨堂練功題】利用平方根概念直接開方求解：
1. 解方程式 x² ＝ 49 ➔ x ＝ ±7。
2. 解方程式 (x - 2)² ＝ 25：
兩邊開方得 x - 2 ＝ ±5 ➔ x ＝ 2 ± 5，故 x ＝ 7 或 -3。
3. 解方程式 (x + 1)² ＝ 12 ➔ x + 1 ＝ ±√12 ＝ ±2√3 ➔ x ＝ -1 ± 2√3。
偵探自我檢核：
[ ] 開方時右邊千萬別漏掉『±』正負號！
[ ] 化簡根式：√12 要化為最簡根式 2√3。
觀念釐清小撇步：特別注意右邊的『±』正負符號絕不能漏掉，若只寫正的會白白丟掉一半分數。
【偵探任務情境 02】補上一次項半平方 🎯
幾何圖形 x² + 6x 想要補成一個完美的大正方形，右下角缺了一塊！應該補上多大面積的常數小正方形？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)²
• 把一次項 6x 砍半變成兩條 3x，右下角缺角剛好是 3² = 9！補上一半的平方！
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S 尋找線索 (Search)
多項式 x² + 6x 欲配成完全平方式 (x + p)²。
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T 轉譯關係 (Translate)
將一次項係數 6 除以 2，得半數 3。
缺少的右下角面積為 3² = 9。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
x² + 6x + 9 = (x + 3)²。
【通則】：x² + bx 配方時，需加上 (b/2)²，即可配成 (x + b/2)²。
若為 x² - 8x，加上 (-8/2)² = (-4)² = 16 ➔ (x - 4)²。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
反向展開驗算：(x + 3)² = x² + 6x + 9，符合完全平方式。
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【隨堂練功題】幾何拼圖補半平方（配成完全平方式）：
1. x² + 8x + ______ 應填入何數可配成完全平方式？
中間項係數為 8，取一半為 4，平方為 16。故填入 16，可配成 (x + 4)²。
2. x² - 6x + ______ ＝ (x - ______)² ➔ 應填入 9，配成 (x - 3)²。
3. 口訣：配方時要補上「一次項係數一半的 平方」。
偵探自我檢核：
[ ] 首項係數必須先化為 1，才能取一次項係數一半的平方。
[ ] (b/2)² 必定是正數，兩邊補上的永遠是加號。
觀念釐清小撇步：配方幾何直觀非常強烈：6x 拆成兩個 3x 排在兩側，角落自然需要一個 3×3 的正方形來補滿。
【偵探任務情境 03】配方法五步SOP 🎯
用配方法解方程式 2x² - 8x - 10 = 0。依照配方法五步 SOP，如何將任何一元二次方程式一步步成功配方解出？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：五步SOP：常數移項 ➔ 係數化一 ➔ 兩邊加半平方 ➔ 化為平方式 ➔ 開方求解
• 配方法五部曲：移項、化一、加半平方、化平方式、開方求解！每一步穩紮穩打！
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S 尋找線索 (Search)
方程式：2x² - 8x - 10 = 0。
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T 轉譯關係 (Translate)
五步 SOP 執行：
第一步【常數移項】：2x² - 8x = 10。
第二步【首項係數化為 1】：同除以 2 ➔ x² - 4x = 5。
第三步【兩邊同加一半平方】：一次項 -4 砍半平方得 (-2)² = 4 ➔ x² - 4x + 4 = 5 + 4。
第四步【左邊化完全平方】：(x - 2)² = 9。
第五步【開方求解】：x - 2 = ±3 ➔ x = 2 ± 3。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
解為 x = 5 或 x = -1。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
檢驗：2(5)² - 8(5) - 10 = 50 - 40 - 10 = 0，兩根正確無誤。
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【隨堂練功題】利用配方法五步 SOP 解方程式 x² + 6x - 7 ＝ 0：
1. 移常數：x² + 6x ＝ 7。
2. 補半平方：兩邊同時加上 (6/2)² ＝ 9 ➔ x² + 6x + 9 ＝ 7 + 9。
3. 配成平方：(x + 3)² ＝ 16。
4. 開方求解：x + 3 ＝ ±4 ➔ x ＝ -3 ± 4，故 x ＝ 1 或 -7。
偵探自我檢核：
[ ] 等量公理：左邊加了 9，等號右邊也必須同時加上 9！
[ ] 配方法是公式解的推導基石，步驟清晰不易出錯。
觀念釐清小撇步：第二步『首項係數化為 1』最容易被遺忘，若首項係數不是 1，配方會極度複雜，務必先同除。
【偵探任務情境 04】公式解與判別式 🎯
由配方法推導出的萬能公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。判別式 D = b² - 4ac 如何決定根的三種命運？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：D = b² - 4ac ； D>0 (兩相異實根) ； D=0 (重根) ； D<0 (無解)
• 判別式 D = b² - 4ac 是解的生死簿！不用算完，看 D 的正負就知道有幾個解！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
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S 尋找線索 (Search)
利用公式解與判別式解方程式 2x² - 3x - 1 = 0。
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T 轉譯關係 (Translate)
識別係數：a = 2, b = -3, c = -1。
計算判別式 D = b² - 4ac = (-3)² - 4(2)(-1) = 9 + 8 = 17 > 0（有兩相異根）。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
套用萬能公式：
x = [-(-3) ± √17] / (2 × 2) = (3 ± √17) / 4。
【判別式三大準則】：
① D > 0 ➔ 兩相異實根
② D = 0 ➔ 兩相等實根（重根）
③ D < 0 ➔ 無解（無實數解）
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
分母為 2a = 4，分子首項 -b = -(-3) = 3，正負號與根號無誤。
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【隨堂練功題】萬能公式解與判別式 D 判斷根的性質：
1. 判別式公式：D ＝ b² - 4ac。
(甲) D > 0 ➔ 有 兩相異實根；(乙) D ＝ 0 ➔ 有 兩相等實根 (重根)；(丙) D < 0 ➔ 無解 (無實根)。
2. 用公式解求 x² - 3x + 1 ＝ 0 的解：
a ＝ 1, b ＝ -3, c ＝ 1 ➔ D ＝ (-3)² - 4×1×1 ＝ 9 - 4 ＝ 5。
x ＝ -(-3) ± √52×1 ＝ (3 ± √5) / 2。
偵探自我檢核：
[ ] 公式解分母是 2a，不是只有 2（當 a ≠ 1 時特別容易錯）。
[ ] 分子開頭是 -b，若 b = -3，則 -b = -(-3) = +3。
觀念釐清小撇步：強調公式解分母是『2a』而非 2，且分子開頭是『-b』，若 b 是負數會負負得正。