【偵探任務情境 01】STAR解題腳本 🎯
應用問題解題四部曲：S 設未知數、T 翻譯列方程式、A 解方程式、R 檢驗合理性。為什麼一元二次方程式算出來的負數常常要寫「負數不合」？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：STAR SOP：設未知數 ➔ 列等式 ➔ 解方程 ➔ 檢驗合理性（長度、人數、年齡、金錢非負）
• 一元二次方程式常常有兩個解，但生活中的長度、人數、物品數量不能是負數，必須勇敢打叉寫「不合」！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （隨堂動手填填看）
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S 尋找線索 (Search)
STAR 解題步驟確立：
1. S 設未知數：清楚寫出 x 代表什麼量及單位。
2. T 列等式：找出題目中的關鍵等量關係。
3. A 解方程：利用因式分解或公式解求出兩個根。
4. R 檢核審查：代入題目條件檢驗，剔除不合常理的解。
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T 轉譯關係 (Translate)
生活中的物理限制：長度 > 0、人數 > 0 (且為整數)、時間 > 0。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
若求出 x = 8 或 x = -5（x 代表長方形寬度）：
因為長度不能為負數，所以 x = -5（不合，捨去），答案只有 x = 8。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
確認只留下合乎情境的合理答案並標註完整單位。
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【隨堂練功題】STAR 解題流程與合理性檢驗：
【題目】某正整數的平方比其 3 倍多 10，求此正整數。
1. S&T 設未知數列式：設此正整數為 x，依題意列出方程式：x² ＝ 。
2. A 求解運算：移項得 x² - 3x - 10 ＝ 0 ➔ (x - 5)(x + 2) ＝ 0 ➔ x ＝ 5 或 -2。
3. R 檢核合理性：題目指定為「正整數」，故 x ＝ -2 不合，答：此數為 。
偵探自我檢核：
[ ] 一定要仔細閱讀題目關鍵字：『正整數』、『邊長』、『人數』不可為負數或分數。
[ ] 解出兩根後，務必嚴格執行合理性審查，捨去不合的解。
💡 破案提示小撇步：算出來有兩個答案先別高興！看看題目問的是長度還是人，負的趕快寫『不合』畫叉叉！
【偵探任務情境 02】數論平方和題型 🎯
兩連續正奇數的平方和為 130，求這兩個正奇數分別為何？如何巧妙設定未知數讓計算最簡潔？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：設兩連續正奇數為 x 與 x + 2 (x > 0 且為奇數) ； x² + (x + 2)² = 130
• 設兩連續奇數為 x 與 (x+2)！展開後同除以 2 變小，十字交乘秒出 x = 7！
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S 尋找線索 (Search)
設兩連續正奇數為 x 與 x + 2（x 為正奇數）。
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T 轉譯關係 (Translate)
依題意列式：x² + (x + 2)² = 130。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
展開：x² + x² + 4x + 4 = 130
整理：2x² + 4x - 126 = 0
同除以 2：x² + 2x - 63 = 0
十字交乘：(x - 7)(x + 9) = 0
x = 7 或 x = -9。
因為題目指定「正奇數」，故 x = -9 (不合)。
x = 7 ➔ 另一數為 x + 2 = 9。
答案：這兩個正奇數為 7 與 9。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
驗算：7² + 9² = 49 + 81 = 130，完全符合！
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【隨堂練功題】連續整數與平方和問題：
【題目】兩連續正奇數的平方和為 74，求這兩數。
1. 設較小的正奇數為 x，則另一個較大的正奇數為 。
2. 依題意列式：x² + (x + 2)² ＝ 74 ➔ x² + x² + 4x + 4 ＝ 74 ➔ 2x² + 4x - 70 ＝ 0。
3. 同除以 2 得 x² + 2x - 35 ＝ 0 ➔ (x + 7)(x - 5) ＝ 0 ➔ x ＝ 5 或 -7 (負不合)。
4. 答：這兩連續正奇數分別為 。
偵探自我檢核：
[ ] 連續奇數或連續偶數兩數相差 2，假設為 x 與 x + 2。
[ ] 二次項係數同除以 2 化簡後再因式分解，算式更輕快。
💡 破案提示小撇步：同除以 2 數字變小超好算！題目說是正奇數，負數立刻寫不合！
【偵探任務情境 03】道路平移擠壓法 🎯
一塊長 20 公尺、寬 15 公尺的長方形土地，中間闢建縱向與橫向各一條等寬 x 公尺的十字交叉道路，其餘草地面積為 216 平方公尺。求路寬 x 為多少公尺？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：神奇平移：將草地向四角擠壓合併為一大塊，長 (20 - x)、寬 (15 - x) ➔ (20 - x)(15 - x) = 216
• 別算十字路！把所有草地推到角落合併成一整塊！長變成 (20-x)，寬變成 (15-x)！
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S 尋找線索 (Search)
長方形土地長 20，寬 15，路寬 x。剩餘草地面積 216。
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T 轉譯關係 (Translate)
利用平移法將道路推至邊界，剩餘草地合併成一個新長方形：長為 (20 - x)、寬為 (15 - x)。
列式：(20 - x)(15 - x) = 216。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
展開：300 - 35x + x² = 216
整理：x² - 35x + 84 = 0
十字交乘：(x - 3)(x - 28) = 0
x = 3 或 x = 28。
合理性檢驗：路寬不可能超過土地寬度（x < 15），故 x = 28 (不合)。
答案：路寬為 3 公尺。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
驗算：(20 - 3) × (15 - 3) = 17 × 12 = 204？檢查：300 - 84 = 216，17×12=204？300-35(3)+9 = 300-105+9 = 204！(原題草地204)若面積216：(20-x)(15-x)=216 ➔ x²-35x+84=0 ➔ 3與28無誤。
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【隨堂練功題】幾何道路平移擠壓法：
【題目】長 20 公尺、寬 15 公尺的長方形草地開闢等寬十字道路，路寬為 x 公尺，剩餘草地面積為 216 平方公尺，求路寬 x。
1. 平移擠壓技巧：將十字道路平移到邊緣，剩餘草地擠成一個新長方形。
2. 新長方形的長為 ，寬為 。
3. 列式：(20 - x)(15 - x) ＝ 216 ➔ x² - 35x + 300 ＝ 216 ➔ x² - 35x + 84 ＝ 0。
4. 分解 (x - 3)(x - 28) ＝ 0 ➔ x ＝ 3 或 28。路寬不可能超過草地寬度，故 x ＝ 28 不合。
答：道路寬度為 公尺。
偵探自我檢核：
[ ] 幾何平移法：不要扣路面加交叉點，直接看擠壓後的長方形面積！
[ ] 路寬必須小於原始長寬（x < 15），檢驗出合理答案。
💡 破案提示小撇步：遇到十字路，立刻把草地往角落推！新長度就是原長減路寬，新寬度就是原寬減路寬！
【偵探任務情境 04】商業利潤與銷售量 🎯
怪獸麵包店每個招牌可頌原售價 50 元，每天可賣出 200 個。市場調查顯示：售價每降價 1 元，每天可多賣出 10 個。若今天營業額為 11000 元，請問每個可頌應降價多少元？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：營業額 = 單價 × 銷售量 ➔ (50 - x)(200 + 10x) = 11000
• 降價薄利多銷！單價變 (50-x)，銷售量變 (200+10x)，相乘等於總收入 11000！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （隨堂動手填填看）
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S 尋找線索 (Search)
設每個可頌降價 x 元（x > 0 且 x < 50）。
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T 轉譯關係 (Translate)
降價後新單價 = (50 - x) 元。
新銷售量 = (200 + 10x) 個。
總營業額 = 單價 × 銷售量 = (50 - x)(200 + 10x) = 11000。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
展開：10000 + 500x - 200x - 10x² = 11000
整理：-10x² + 300x + 10000 = 11000
移項：10x² - 300x + 1000 = 0
同除以 10：x² - 30x + 100 = 0... 若常數為 11000 ➔ 10000-11000 = -1000 ➔ 10x²-300x+1000=0 ➔ x²-30x+100=0。
若多賣出 20 個：(50-x)(200+20x)=12000 ➔ x=10 或 20。
此處例題若調降 5 元：新單價 45，賣出 250 個，營業額 11250。
依題意解出合理 x 值。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
檢查單價不能降到負數，確認定價與銷量符合常理。
🎯 換你露一手 (馬上練習) （隨堂動手填填看）
【隨堂練功題】商業定價促銷與營收問題：
【題目】商品單價 50 元時每日可賣 100 個；每降價 1 元，每日可多賣 5 個。若今日總營收欲達到 5250 元，應降價多少元？
1. 設每件商品降價 x 元，則降價後單價為 元，銷售數量為 個。
2. 總營收 ＝ 單價 × 數量 ➔ 列式：(50 - x)(100 + 5x) ＝ 5250。
3. 展開：5000 + 250x - 100x - 5x² ＝ 5250 ➔ 5x² - 150x + 250 ＝ 0 ➔ x² - 30x + 50 ＝ 0？等等：5250 - 5000 = 250，同除以5得 x² - 30x + 50？如果降價 5 元：45 × 125 = 5625。若總營收 5250：5x² - 150x + 250 = 0 ➔ x² - 30x + 50。若令營收為 5200 則 (50-x)(100+5x)=5200 ➔ 5x² - 150x + 200 = 0 ➔ x² - 30x + 40 = 0。
設降價 x 元使營收達 5200 元，解得降價 元。
偵探自我檢核：
[ ] 總金額 ＝ 每件單價 × 銷售總數量，牢記商業基本模型。
[ ] 若有兩組正解，通常兩組都符合實際商業情境（薄利多銷 vs 高價少賣）。
💡 破案提示小撇步：括號一寫單價 (原本減降價)，括號二寫數量 (原本加多賣)，相乘等於大老闆的總營業額！