【偵探任務情境 01】撕角拼平線模型 🎯
小水豚拿出一張任意三角形色紙，把三個角撕下來拼在一起，驚喜地發現剛好拼成一條筆直平坦的直線（平角）！在幾何學中，任何三角形的三個內角總和永遠恰好等於 180 度。如果一個三角形的兩個角分別是 50° 與 70°，請問第三個角是幾度？
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：∠A + ∠B + ∠C = 180°
• 撕紙拼圖大秘密！不管胖的、瘦的、直角的三角形，三個內角撕下來拼在一起，剛好就是一條 180° 的平角！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
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S 尋找線索 (Search)
已知三角形內角 ∠A = 50°，∠B = 70°，欲求第三個角 ∠C。
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T 轉譯關係 (Translate)
依三角形內角和定理列式：∠C = 180° - 50° - 70°。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
∠C = 180° - 120° = 60°。
【範例計算】直角三角形中有一銳角 35°，另一銳角為 90° - 35° =55°。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
驗算：50° + 70° + 60° = 180°，符合內角和定理。
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【隨堂練功題】三角形內角和應用：
1. 在 △ABC 中，∠A ＝ 45°，∠B ＝ 85°，則 ∠C ＝ 180° - (45° + 85°) ＝ 50°。
2. 若直角三角形中有一銳角為 28°，則另一銳角為 90° - 28° ＝ 62°。
3. 三角形三內角比為 2 : 3 : 4，則最大角為 180° × 49 ＝ 80°。
偵探自我檢核：
[ ] 我牢記任何三角形內角和恆等於 180°。
[ ] 遇到比例題，能設 2r, 3r, 4r 快速列式求解。
觀念釐清小撇步：直角三角形的兩銳角互餘（相加 90°），可直接用 90° 減已知角速算。
【偵探任務情境 02】公園繞圈散步模型 🎯
小水豚在三角形公園步道散步，每走到一個轉角就轉一個彎（外角）。當小水豚繞著公園走完一整圈回到起點時，他的身體剛好在原地旋轉了整整一圈（360°）！神奇的是，無論是三角形、四邊形、五邊形，甚至是 100 邊形，只要是凸多邊形，外角和永遠恆等於 360 度！
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：任意 n 邊形的外角和恆等於 360°
• 繞公園走一圈！每到轉角轉個彎（外角），回到起點剛好旋轉 360°！不管幾邊形，外角和永遠是 360°！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
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S 尋找線索 (Search)
一個多邊形每頂點取一個外角，求外角總和。
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T 轉譯關係 (Translate)
根據外角和定理：外角和與邊數 n 完全無關，恆等於 360°。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
外角和 = 360°。
【範例計算】正八邊形的每一個外角：360° ÷ 8 = 45°；每一個內角 = 180° - 45° =135°。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
內外角互補檢驗：內角 + 外角 = 180°，135° + 45° = 180°，吻合平線概念。
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【隨堂練功題】外角和與正多邊形：
1. 任意十邊形的一組外角總和等於 360°。
2. 正十二邊形的每一個外角 ＝ 360° ÷ 12 ＝ 30°。
3. 承上題，正十二邊形的每一個內角 ＝ 180° - 30° ＝ 150°。
偵探自我檢核：
[ ] 我知道凸多邊形的外角和恆等於 360°，跟邊數無關！
[ ] 我能熟練用「180° - 外角」速算正多邊形的每一個內角。
觀念釐清小撇步：解正多邊形內角時，「先算外角 (360÷n)，再用 180 扣掉得內角」比代內角和公式快十倍！
【偵探任務情境 03】外角定理與飛鏢圖 🎯
小水豚發現三角形的外角有一個超酷超霸氣的特異功能：三角形的任一個外角，剛好等於「不相鄰的兩個內角（遠方的兩個小瘦子）之和」！就像外角大胖一個人就抵得過遠方兩個小瘦子加起來！若三角形 ∠A = 45°，∠B = 65°，請問 ∠C 的外角是幾度？
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：外角定理：∠ACD = ∠A + ∠B (外角等於兩遠內角和)
• 外角大胖 = 遠方兩個小瘦子相加！旁邊那個內角是鄰居不算，直接把另外兩個內角加起來！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
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S 尋找線索 (Search)
求 ∠C 的外角，其相鄰內角為 ∠C，遠端不相鄰內角為 ∠A 與 ∠B。
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T 轉譯關係 (Translate)
利用外角定理：∠C 外角 = ∠A + ∠B。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
∠C 外角 = 45° + 65° = 110°。
【範例計算】飛鏢型圖形中，凹進去的角剛好等於三個尖角的和：凹角 =∠1 + ∠2 + ∠3。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
驗算：∠C 內角 = 180° - 110° = 70°，45°+65°+70°=180°，內外角定理完全相符。
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【隨堂練功題】三角形外角定理：
1. 在 △ABC 中，∠A ＝ 55°，∠B ＝ 65°，則 ∠C 的外角 ＝ ∠A + ∠B ＝ 120°。
2. 若三角形的一外角為 130°，其不相鄰的兩內角之一為 70°，則另一內角為 130° - 70° ＝ 60°。
3. 飛鏢型圖形中，三個尖角分別為 35°, 40°, 45°，則中間凹角 ＝ 35° + 40° + 45° ＝ 120°。
偵探自我檢核：
[ ] 我掌握外角定理：任一外角等於不相鄰兩內角和。
[ ] 能將飛鏢型（凹四邊形）的凹角視為三個尖角的總和。
觀念釐清小撇步：飛鏢圖（凹四邊形）是外角定理的經典推廣：利用割線連線，凹角即為三尖角和。
【偵探任務情境 04】多邊形切割三角形模型 🎯
五邊形、六邊形的內角和到底是多少？小水豚拿出一把剪刀，從一個頂點出發連對角線：四邊形可以切成 2 個三角形，五邊形可以切成 3 個三角形，n 邊形永遠可以切成 (n - 2) 個三角形！每個三角形內角和是 180°，所以 n 邊形內角和就是 (n - 2) × 180°！請計算七邊形的內角和。
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：n 邊形內角和 = (n - 2) × 180°
• 剪刀分割術！從一個頂點切出 (n - 2) 個三角形，每個三角形 180°，內角和就是 (n - 2) × 180°！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
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S 尋找線索 (Search)
計算七邊形 (n = 7) 的內角總和。
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T 轉譯關係 (Translate)
可分割成 (7 - 2) = 5 個三角形，總和為 5 × 180°。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
內角和 = (7 - 2) × 180° = 5 × 180° = 900°。
【範例計算】正六邊形內角和 = (6 - 2) × 180° = 720°，每個內角 = 720° ÷ 6 =120°。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
由外角反推：六邊形每外角 360°÷6=60°，每內角 180°-60°=120°，720° 正確。
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【隨堂練功題】多邊形內角和公式 (n - 2) × 180°：
1. 八邊形的內角總和 ＝ (8 - 2) × 180° ＝ 6 × 180° ＝ 1080°。
2. 若一多邊形的內角和為 1440°，則 (n - 2) × 180° ＝ 1440° ⇒ n - 2 ＝ 8 ⇒ 邊數 n ＝ 10。
3. 正五邊形的內角和 ＝ 540°，每一個內角 ＝ 540° ÷ 5 ＝ 108°。
偵探自我檢核：
[ ] 我能理解 n 邊形切成 (n - 2) 個三角形，因此內角和是 (n - 2)×180°。
[ ] 給定內角和時能逆推求出多邊形的邊數 n。
觀念釐清小撇步：引導學生觀察「三角形個數永遠比邊數少 2」，加深對 (n - 2) 的幾何直觀理解。