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第一冊（七年級上學期） • 數位手帳塗鴉學習單
第一冊（七年級上學期） • 數位手帳塗鴉學習單
學生自主練習版

📐 國中數學 2-2【最大公因數與最小公倍數】塗鴉學習手帳

班級：國一__班
座號：__號
姓名：______

🧩 歡迎來到因倍數配對城堡！解鎖鋪磁磚、分禮盒與公車會合的超級秘法！

把長方形地板切成最大正方形磁磚，該找誰？兩班公車何時再次同時發車，該找誰？
本單元帶你掌握四大必勝王牌：「正方形磁磚與互質迷思」、「短除法大樓 vs 標準分解式找 GCD」、「L 型兜底網與三數求 LCM 大陷阱」，以及「解題指南針雙向秒殺法」！
每個小區塊（標題、手繪圖解、視覺鷹架、即時練習）均可點擊右上角 🔍 放大 獨立展開為滿版！

主題一

公因數、最大公因數 (GCD) 與互質的意義

🧱 鋪磁磚魔法：正方形磁磚邊長必須同時整除長與寬；若 (a, b) ＝ 1，代表兩數「互質」，不一定要是質數！

公因數與互質定義手繪圖解
🧱 長 24、寬 18 的地板鋪滿最大正方形磁磚，邊長是 (24, 18) ＝ 6 cm！互質核心：(8, 9) ＝ 1，8 與 9 都是合數但互質！

鋪磁磚與互質視覺互動圖解

🧱 幾何磁磚鋪滿圖解 (長 24cm × 寬 18cm) 最大邊長 (24, 18) ＝ ______ cm
↔️ 長度 24 cm ( 24 ÷ 6 ＝ 4 格 )
↕️ 寬 18 cm ( 3 格 )
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
🎯 鋪滿總塊數 ＝ 橫鋪 4 塊 × 直鋪 3 塊 ＝ ______ 塊
🏰 互質雙城堡吊橋 (Coprime)：唯一的共同密碼只有 1
城堡 8
合數 (2×2×2)
因數: 1, 2, 4, 8
1
唯一的公因數
城堡 9
合數 (3×3)
因數: 1, 3, 9
★ (8, 9) ＝ 1 ➔ 雖然都是合數，依然是「互質」好朋友！
👑 相鄰整數必互質秒殺牌： (14, 15) ＝ ______ (99, 100) ＝ ______

✍️ 即時練習區：最大公因數與互質暖身

① 寫出 (12, 16) ＝    
② 寫出 (15, 28) ＝    
③ 14 與 15 是否互質？    
④ 9 與 27 是否互質？    
⑤ 若 (a, 20) ＝ 1，且 10＜a＜15，則 a ＝    
⑥ 長 30、寬 20 的紙張，裁成最大正方形邊長為？    

⭐ 學習小秘笈

引導學童理解「互質不是指孤獨的質數，是指兩個人之間沒有共同的密碼（除了 1 以外沒有公因數）」。拿出 8 和 9 讓學生分別寫出因數，親眼看見交集只有 1！

主題二

求最大公因數的方法（短除法 vs 標準分解式找小次方）

🏢 電梯大樓與挑矮原則：短除法只乘左邊整排除數；標準分解式挑共同底數，次方選最小！

求最大公因數短除法與標準分解式手繪圖解
🏢 短除法電梯大樓：只乘垂直左側除數 2×2×3×3＝36，底下商 (2, 3) 互質停！標準分解式：底數挑共同，次方挑小的！

求 GCD 兩大武器視覺圖解

🏢 武器一【短除法電梯大樓】：只乘左側電梯除數 底層互質立刻停梯
🛗 電梯井
2
2
3
3
相乘＝36
4F: 72   108
3F: 36    54
2F: 18    27
1F:  6     9
GF:  2     3 🛑 互質停梯
★ (72, 108) ＝ 2 × 2 × 3 × 3 ＝ ______ （切勿乘到底層商 2 和 3！）
👑 武器二【矮個子挑選法】：挑共有底數，次方選最小
底數 2 擂台
2³ (高) vs 2² (矮)
✔ 選 2²
底數 3 擂台
3² (矮) vs 3⁴ (高)
✔ 選 3²
獨行俠 5 與 7
非共有（缺）
🗑️ 丟掉不選
★ (A, B) ＝ 2² × 3² ＝ ______

✍️ 即時練習區：求最大公因數實戰

① 用短除法求 (48, 72) ＝    
② 用短除法求 (36, 90) ＝    
③ (2²×3×5², 2³×3²×5) ＝    
④ (2⁴×3³×7, 2²×5×7²) ＝    
⑤ 求三數 (18, 24, 42) ＝    
⑥ (2³×3×7, 5²×11) ＝    

⭐ 學習小秘笈

口訣記憶法：「求大公因，要挑矮小！」請學生拿尺比對直行，兩邊都有的底數才圈起來，次方比較小的上面打勾，最後乘起來就是答案！

主題三

公倍數、最小公倍數 (LCM) 與短除法大陷阱

🚌 博愛收納箱與 L 型兜底網：標準分解式全都要、次方選大；三數短除法只要任兩數有公因數就繼續除！

求最小公倍數短除法與三數陷阱手繪圖解
🚌 標準分解式求 LCM 博愛全都要：[A, B]＝2³×3⁴×5×7！三數短除法魔鬼考點：三數除完換兩數，不能整除的照抄掉下來！

求 LCM 兩大絕招視覺圖解

🚌 絕招一【黃金 L 型兜底管道】：全圈相乘 滑梯照抄掉下來
2 | 12    18    30
3 |  6     9    15
3 |  2     3    5(抄)
    2     1     5 (兩兩互質)
★ 沿著 L 型管全部相乘： 2 × 3 × 3 × 2 × 1 × 5 ＝ ______
💎 絕招二【博愛收納寶箱】：出現過全收，挑高次方
👑 挑高
2³
👑 挑高
3⁴
📦 照收
5¹
📦 照收
7¹
[A, B] ＝ 2³ × 3⁴ × 5 × 7
⚖️ 宇宙守恆： A × B ＝ (A, B) × [A, B] （僅限兩數！）

✍️ 即時練習區：求最小公倍數實戰

① 求 [12, 16] ＝    
② 求 [15, 20] ＝    
③ [2²×3×5, 2×3²×7] ＝    
④ 求三數 [8, 12, 18] ＝    
⑤ 若兩數相乘為 240，最大公因數為 4，則最小公倍數為？    
⑥ 求兩互質數 [11, 13] ＝    

⭐ 學習小秘笈

三數求最小公倍數是七年級最大痛點！特別叮嚀學生：「三個人除完，不要以為結束了！看有沒有兩個人可以除，落單被丟下的數字千萬記得原封不動搭電梯下樓照抄！」

主題四

生活情境應用題（分組分裝鋪磁磚 vs 巡邏排班發車會合）

🧭 解題指南針：切碎分割分裝求 GCD；未來時間輪流相遇求 LCM；餘數多的先扣、不足先補！

生活應用題型指南針手繪圖解
🧭 指南針分流法：左邊切碎分裝求最大公因數；右邊未來會合求最小公倍數！調味罐口訣：多的先扣除，不足的先補齊！

應用題型指南針與魔法罐圖解

🧭 十字路口雙向指南針：變小還是變大？
⬅️ 切碎・分裝 (變小)
求 ( 最大公因數 )
分糖果、鋪最大磁磚
➡️ 同時出發 (變大)
求 [ 最小公倍數 ]
公車會合、拼大正方體
🍯 餘數魔法調味罐：多先丟、缺先補
75 餘 3 (多3顆)
先丟掉 -3 ➔ 72
95 不足 1 (缺1顆)
先補齊 +1 ➔ 96
★ (72, 96) ＝ ______ ➔ 某數最大為 24！

✍️ 即時練習區：情境應用挑戰

① 鉛筆 60 枝、橡皮擦 45 個，平分給最多幾位學生？    
② 承上題，每人分得鉛筆幾枝、橡皮擦幾個？    
③ 紅線公車每 12 分鐘一班、綠線每 15 分鐘一班，下次同時發車相隔幾分？    
④ 用長 6cm、寬 4cm、高 3cm 的積木，堆成最小正方體邊長為？    
⑤ 某數除 50 餘 2，除 75 餘 3，則某數最大為？    
⑥ 操場學生 100~150 人，每 8 人一列或每 12 人一列都不足 1 人，學生共幾人？    

⭐ 學習小秘笈

題目長篇大論時，引導孩子畫出「指南針」符號：問自己『東西是分開變少？還是時間拉長變多？』變少直接寫 ( )，變多直接寫 [ ]，瞬間破除閱題障礙！

總結挑戰

因倍數大作戰：大魔王綜合闖關與反思

🎯 綜合 4 大主題：檢測你是否掌握了互質判定、短除法雙絕招、L型兜底網與應用題指南針！

🌟 闖關魔王題（四題檢定）

① 判斷 (24, 35) 是否互質？    
② 求 (2³×3²×5, 2²×3³×7) ＝    
③ 求三數最小公倍數 [10, 15, 20] ＝    
④ 長 72m、寬 48m 的長方形土地，分割成最大正方形，可得幾塊？    

⭐ 我的學習信心星級評估

點擊星星為自己今天在 2-2 單元的表現打分數：

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📝 學習心得與自我提醒：

「寫下你今天最受用的一個因倍數口訣或解題技巧...」

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