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第五冊（九年級上學期） • 數位手帳塗鴉學習單
第五冊（九年級上學期） • 數位手帳塗鴉學習單
任務 01

我的數學塗鴉筆記：三人行水果模型：連比的定義與橋樑法 🧭

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【偵探任務情境 01】水果連比模型 🎯
怪獸果汁吧正在調配特製綜合果汁，蘋果比香蕉為 2：3，香蕉比芭樂為 4：5。當三個或三個以上的數量進行比例比較時，我們稱為「連比例」，記作 a：b：c。香蕉同時出現在兩組比例中，扮演關鍵「橋樑」角色！請透過最小公倍數搭橋，求出蘋果：香蕉：芭樂的連比。

👀 畫給你看 (100% 繁體中文情境圖解)

三人行水果模型：連比的定義與橋樑法
💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：若 x：y ＝ a：b 且 y：z ＝ c：d，取 b、c 最小公倍數化為 x：y：z
• 香蕉是中間搭橋的關鍵！把兩組比例中的香蕉份數化為最小公倍數 [3, 4] ＝ 12，就能把三種水果順利串成一串！

💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （隨堂動手填填看）

  • S 尋找線索 (Search)
    尋找兩組已知比例中的共同媒介（香蕉），原比例分別為 2：3 與 4：5。
  • T 轉譯關係 (Translate)
    找出中間項 3 與 4 的最小公倍數 [3, 4] ＝ 12，將兩組比例擴分對齊。
  • A 求解運算 (Act & Calculate)
    蘋果：香蕉 ＝ 2：3 ＝ 8：12；香蕉：芭樂 ＝ 4：5 ＝ 12：15，因此連比為 8：12：15。
    【範例計算】若 a：b ＝ 3：4，b：c ＝ 6：7，[4, 6] ＝ 12，則 a：b：c ＝ 。
  • R 檢核審查 (Review & Reflect)
    檢查各兩兩比例：8：12 ＝ 2：3，12：15 ＝ 4：5，皆約分還原符合題意。

🎯 換你露一手 (馬上練習) （隨堂動手填填看）

【隨堂練功題】搭橋法求最簡連比：
1. 若 a：b ＝ 4：5，b：c ＝ 3：2，中間項 [5, 3] ＝ 15。
   化為連比 a：b：c ＝  。
2. 若 x：y ＝ 2：3，y：z ＝ 6：7，中間項 [3, 6] ＝ 6。
   化為連比 x：y：z ＝  。
偵探自我檢核： [   ] 我能找出共同項並求其最小公倍數進行擴分搭橋。 [   ] 我能將求出的連比化為互質的最簡整數比。
💡 破案提示小撇步：口訣：『找出中間人，通分串起來！』誰出現兩次，就把它變成一樣的數字！
任務 02

我的數學塗鴉筆記：神奇放大燈 m：連比設未知數法 🧭

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【偵探任務情境 02】神奇放大燈模型 🎯
小偵探手持神奇放大燈，當看到連比 x：y：z ＝ a：b：c 時，代表 x、y、z 分別佔了 a 份、b 份、c 份。只要設一個基準倍數 m (m ≠ 0)，就能令 x ＝ am、y ＝ bm、z ＝ cm，瞬間把三個未知數簡化為一個參數！若 x：y：z ＝ 3：4：5 且 x + y + z ＝ 48，請算出各數數值。

👀 畫給你看 (100% 繁體中文情境圖解)

神奇放大燈 m：連比設未知數法
💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：若 x：y：z ＝ a：b：c，則可設 x ＝ am, y ＝ bm, z ＝ cm (m ≠ 0)
• 神奇放大燈照下去！x、y、z 全都變成基準 m 的倍數，把三個未知數瞬間變成一個未知數 m，解題超輕鬆！

💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （隨堂動手填填看）

  • S 尋找線索 (Search)
    已知連比 x：y：z ＝ 3：4：5，且三數總和條件為 48。
  • T 轉譯關係 (Translate)
    啟動放大燈參數法：設 x ＝ 3m、y ＝ 4m、z ＝ 5m (m ≠ 0)。
  • A 求解運算 (Act & Calculate)
    代入總和：3m + 4m + 5m ＝ 12m ＝ 48，解得 m ＝ 4。則 x ＝ 12，y ＝ 16，z ＝ 20。
    【範例計算】若 a：b：c ＝ 2：3：5 且 2a + b + c ＝ 60，設 a＝2m, b＝3m, c＝5m，則 4m + 3m + 5m ＝ 12m ＝ 60，解得 m ＝ 5，a ＝ 。
  • R 檢核審查 (Review & Reflect)
    檢驗：12 + 16 + 20 ＝ 48，且 12：16：20 ＝ 3：4：5，完全正確。

🎯 換你露一手 (馬上練習) （隨堂動手填填看）

【隨堂練功題】利用神奇放大燈 m (m ≠ 0) 設參數求解：
1. 若 x：y：z ＝ 2：3：7 且 x + y + z ＝ 72：
   設 x ＝ 2m, y ＝ 3m, z ＝ 7m，代入得 12m ＝ 72 ⇒ m ＝  。
   求得 x ＝  ，y ＝  ，z ＝  。
2. 若 a：b：c ＝ 3：4：5 且 2a + b - c ＝ 20，求 a + b + c ＝  。
偵探自我檢核： [   ] 我知道看到連比時，設基準倍數 m 能化簡多元未知數。 [   ] 我能把解出的 m 代回各項算出 x、y、z 的真值。
💡 破案提示小撇步：口訣：『看到連比不要慌，設個 m 乘在旁！』解出 m，所有答案通通現形！
任務 03

我的數學塗鴉筆記：大披薩切分法：按比例分配總量 🧭

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【偵探任務情境 03】披薩分配模型 🎯
量量獸、小怪獸與狐狸偵探合資買了一個超大披薩，約定按照出資比例 2：3：5 分配這塊共 1200 公克的總披薩。將一個總量按照特定連比分成若干等份的計算，稱為「按比例分配」。只要算出一共有幾等份，就能精確切分每一份！請幫三隻怪獸算出各自能分到幾公克披薩。

👀 畫給你看 (100% 繁體中文情境圖解)

大披薩切分法：按比例分配總量
💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：第 i 項分量 ＝ 總量 × 份數 i總份數和
• 披薩切切樂！先算全部共有 2 + 3 + 5 ＝ 10 等份，每等份就是 1200 ÷ 10 ＝ 120 公克，再按份數分發！

💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （隨堂動手填填看）

  • S 尋找線索 (Search)
    已知總量 1200 公克，分配比為 2：3：5，求各分量。
  • T 轉譯關係 (Translate)
    計算總份數：2 + 3 + 5 ＝ 10 份，每一份佔總量的 110。
  • A 求解運算 (Act & Calculate)
    量量獸：1200 × 210 ＝ 240g；小怪獸：1200 × 310 ＝ 360g；狐狸：1200 × 510 ＝ 600g。
    【範例計算】將 180 萬按 1：2：3 分配，總份數為 6，各得 30 萬、60 萬、90 萬。
  • R 檢核審查 (Review & Reflect)
    驗算：240 + 360 + 600 ＝ 1200g，且 240：360：600 ＝ 2：3：5。

🎯 換你露一手 (馬上練習) （隨堂動手填填看）

【隨堂練功題】按比例分配總量：
1. 將一條長度 90 公分的木條，按照 2：3：4 鋸成三段：
   總份數 ＝ 2 + 3 + 4 ＝   份。
   最短段長度 ＝ 90 × 29 ＝   公分。
   最長段長度 ＝ 90 × 49 ＝   公分。
2. 甲、乙、丙三人共分 1500 元，比例為 1：2：2，乙分得   元。
偵探自我檢核： [   ] 我能先將比項相加算出總份數，再求各項比例。 [   ] 我會驗算各分段長度相加是否等於原始總量。
💡 破案提示小撇步：口訣：『先加總份數，再乘各比率！』切披薩分糖果，公平又清楚！
任務 04

我的數學塗鴉筆記：魔法天平：連比的同乘同除與化簡 🧭

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【偵探任務情境 04】天平化簡模型 🎯
魔法天平上有三端砝碼，連比例具有非常神奇的性質：連比的每一項同時乘以（或除以）同一個不為 0 的數，其比值完全不變！若遇到分數比或小數比，我們可以同乘分母公倍數，化為「最簡整數比」。請將連比 12：23：34 化為最簡整數比。

👀 畫給你看 (100% 繁體中文情境圖解)

魔法天平：連比的同乘同除與化簡
💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：a：b：c ＝ ak：bk：ck ＝ ak：bk：ck (k ≠ 0)
• 魔法天平同乘同除不失衡！遇到分數比，只要同乘以分母的最小公倍數，就能輕鬆化為乾淨俐落的最簡整數比！

💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （隨堂動手填填看）

  • S 尋找線索 (Search)
    觀察分數連比的分母：2、3、4。
  • T 轉譯關係 (Translate)
    找出分母的最小公倍數 [2, 3, 4] ＝ 12，將每一項同乘以 12。
  • A 求解運算 (Act & Calculate)
    (12 × 12)：(23 × 12)：(34 × 12) ＝ 6：8：9。
    【範例計算】將 0.4：0.6：1.2 同乘 10 得 4：6：12，同除以 2 得最簡整數比 2：3：6。
  • R 檢核審查 (Review & Reflect)
    確認 6、8、9 三數的最大公因數為 1，已為最簡整數比。

🎯 換你露一手 (馬上練習) （隨堂動手填填看）

【隨堂練功題】連比的同乘同除與化簡：
1. 將分數連比 13：14：16 同乘分母最小公倍數 12：
   化為最簡整數比 ＝  。
2. 將小數連比 0.5：1.5：2.5 同乘 10 得 5：15：25，同除以 5：
   化為最簡整數比 ＝  。
3. 若 2x ＝ 3y ＝ 4z (x,y,z ≠ 0)，同除以 12 得 x：y：z ＝  。
偵探自我檢核： [   ] 我掌握分數連比同乘分母公倍數化簡的技巧。 [   ] 我能熟練處理 2x = 3y = 4z 型題目，取倒數化簡求比。
💡 破案提示小撇步：口訣：『分數同乘分母公倍數，小數同乘 10 的次方！』整齊又好算！