【偵探任務情境 01】手機縮放模型 🎯
小水豚用雙指在手機螢幕上縮放照片：當圖形以某一點為中心放大或縮小 r 倍時，所有「對應邊長」都會變成原來的 r 倍，但是所有的「對應角」角度永遠維持完全不變！形狀完全相同（角相等、邊成比例）的兩個圖形，稱為「相似形」，記作 △ABC ∼ △DEF。若將邊長 6 的正方形放大為 3 倍，求新正方形的邊長與內角。
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：放大 r 倍：新邊長 ＝ 原邊長 × r，對應角度維持不變 (相等)
• 手機雙指縮放照片！身材等比例等倍拉長縮短，但笑臉的角度完全不會變形！這就是相似！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
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S 尋找線索 (Search)
原正方形邊長為 6，內角皆為 90°，放大倍率 r ＝ 3。
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T 轉譯關係 (Translate)
根據縮放性質：邊長乘倍數，角度完全不變。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
新邊長 ＝ 6 × 3 ＝ 18；新內角仍為 90°。
【範例計算】邊長為 5, 12, 13 的直角三角形縮小為 1"den">2 倍，新邊長為 2.5, 6, 6.5，最大內角仍為 90°。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
確認幾何形狀依然是正方形，角度不變，邊長同乘 3 倍，符合縮放定義。
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【隨堂練功題】平面圖形放大與縮小：
1. 一個等腰三角形底邊為 6，腰長為 8，頂角為 40°：
若將此圖形放大為 2.5 倍，新圖形的腰長 ＝ 8 × 2.5 ＝ 20。
新圖形的頂角角度 ＝ 40°（角度不隨縮放改變！）。
2. 原圖周長為 24，放大 3 倍後的新周長 ＝ 24 × 3 ＝ 72。
偵探自我檢核：
[ ] 我能牢記「邊長隨倍率放大縮小，對應角度維持不變」。
[ ] 我知道周長與邊長同為一次方，放大倍數完全相同。
觀念釐清小撇步：強調「角度絕對不隨放大縮小而改變」是國中生最常犯的直覺錯誤，務必多次叮嚀。
【偵探任務情境 02】相似密碼鎖模型 🎯
兩個多邊形要稱為相似多邊形，必須同時解開兩道密碼鎖：條件一「對應角相等」；條件二「對應邊成比例」。兩者缺一不可！例如：長方形內角都 90°，但邊長不一定成比例，所以長方形不一定相似；菱形四邊等長成比例，但角不一定相等，所以菱形也不一定相似！請判斷為什麼所有正方形一定都相似？
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：多邊形相似 ⇔ (1) 對應角相等 且 (2) 對應邊成比例 (缺一不可)
• 兩道鎖都要解開！只有角度一樣不夠（如長方形），只有邊長成比例也不行（如菱形），兩者同時具備才過關！
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S 尋找線索 (Search)
檢視正方形的幾何條件：四個角都是 90°，四邊都等長。
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T 轉譯關係 (Translate)
比對兩大條件：(1) 任兩正方形對應角皆為 90°(相等)；(2) 四邊比值皆相等(邊成比例)。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
因為所有正方形皆滿足「對應角相等」且「對應邊成比例」，所以任意兩個正方形必定相似。
【範例計算】正五邊形每個內角為 108°，五邊皆等長，故任意兩個正五邊形必然相似。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
注意：三角形很特別，只要「角相等」就保證「邊成比例」；但四邊形以上必須同時檢查兩條件！
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【隨堂練功題】多邊形相似的雙重條件（角相等 + 邊成比例）：
1. 長方形內角都是 90°（對應角相等），但對應邊不一定成比例，故不一定相似。
2. 菱形四邊等長（對應邊成比例），但對應角不一定相等，故不一定相似。
3. 任意兩個「正六邊形」，因內角皆為 120° 且各邊等長，故兩者必定相似。
偵探自我檢核：
[ ] 我理解多邊形相似必須同時通過「角相等」與「邊成比例」。
[ ] 我能舉出長方形與菱形作為單一條件不足以保證相似的反例。
觀念釐清小撇步：以長方形與菱形作為反例，幫助學生建立多邊形相似必須「角與邊雙重檢定」的嚴謹邏輯。
【偵探任務情境 03】AA 相似模型 🎯
三角形是幾何界最神奇的圖形！只要兩個三角形有「兩組對應角相等」（AA），根據內角和 180°，第三組角自然也相等，兩三角形就必然相似！這就是最常用、威力最強大的「AA 相似判別法」（或稱 AAA 相似）。在 △ABC 與 △DEF 中，若 ∠A ＝ 50°，∠B ＝ 70°，∠D ＝ 50°，∠F ＝ 60°，請問它們相似嗎？
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：若 ∠A ＝ ∠D 且 ∠B ＝ ∠E，則 △ABC ∼ △DEF (AA 相似)
• 兩角相等就過關！三角形內角和固定 180°，只要兩對角撞臉，第三對角跑不掉，直接保證相似！
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S 尋找線索 (Search)
已知 △ABC 中 ∠A ＝ 50°, ∠B ＝ 70°；△DEF 中 ∠D ＝ 50°, ∠F ＝ 60°。
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T 轉譯關係 (Translate)
算尋第三角：△ABC 的 ∠C ＝ 180° - 50° - 70° ＝ 60°。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
比較兩三角形：∠A ＝ ∠D ＝ 50°，且 ∠C ＝ ∠F ＝ 60°。兩組角對應相等，故 △ABC ∼ △DFE (AA 相似)。
【範例計算】兩直角三角形各有一個 30° 銳角，因皆有 90° 與 30°，由 AA 性質必然相似。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
寫相似符號時，頂點必須嚴格對應：A 對應 D，B 對應 E (70°)，C 對應 F (60°)。
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【隨堂練功題】AA 相似判別性質（兩組對應角相等）：
1. △ABC 中 ∠A ＝ 40°，∠B ＝ 80°；△DEF 中 ∠D ＝ 40°，∠E ＝ 60°：
△ABC 的第三角 ∠C ＝ 180° - 40° - 80° ＝ 60°。
因為 ∠A ＝ ∠D ＝ 40° 且 ∠C ＝ ∠E ＝ 60°，故兩三角形為 AA 相似。
2. 頂點嚴謹對應：△ABC ∼ △DFE。
偵探自我檢核：
[ ] 我能算出三角形第三內角並確認兩組對應角相等。
[ ] 我寫相似符號時會嚴格依照頂點對應順序排定。
觀念釐清小撇步：提醒頂點書寫順序非常重要，△ABC ∼ △DFE 不能隨便寫成 △DEF，避免對應邊找錯。
【偵探任務情境 04】SAS 與 SSS 模型 🎯
除了 AA 相似，還有兩大重要判別法：第一是「SAS 相似」就像漢堡夾心，兩組對應邊成比例，且「夾角相等」；第二是「SSS 相似」，三組對應邊全部成等比例！在 △ABC 中，AB ＝ 4，AC ＝ 6，∠A ＝ 45°；在 △DEF 中，DE ＝ 6，DF ＝ 9，∠D ＝ 45°。請問兩三角形是否相似？為什麼？
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：SAS：ABDE ＝ ACDF 且 ∠A ＝ ∠D；SSS：ABDE ＝ BCEF ＝ ACDF
• 漢堡夾心 SAS：兩片麵包邊長成比例，中間包著相等的夾角！三邊齊步走 SSS：三組邊長全部維持固定比值！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
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S 尋找線索 (Search)
檢視已知條件：AB ＝ 4, AC ＝ 6, ∠A ＝ 45°；DE ＝ 6, DF ＝ 9, ∠D ＝ 45°。
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T 轉譯關係 (Translate)
計算兩組對應邊的比值：ABDE ＝ 46 ＝ 23，ACDF ＝ 69 ＝ 23。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
因為 ABDE ＝ ACDF ＝ 23，且夾角 ∠A ＝ ∠D ＝ 45°，故 △ABC ∼ △DEF (SAS 相似)。
【範例計算】三邊為 3, 4, 5 與 6, 8, 10 的兩三角形，邊長比皆為 1：2，由 SSS 性質保證相似。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
務必確認相等的角是「兩邊的夾角」，若不是夾角（如 SSA）則不能保證相似！
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【隨堂練功題】SAS 與 SSS 相似判別：
1. △ABC 中 AB ＝ 6，AC ＝ 8，∠A ＝ 50°；△DEF 中 DE ＝ 9，DF ＝ 12，∠D ＝ 50°：
邊長比 69 ＝ 812 ＝ 23，且夾角 ∠A ＝ ∠D ＝ 50°。
故 △ABC ∼ △DEF 是依據 SAS 相似性質。
2. 兩三角形三邊分別為 3, 4, 6 與 6, 8, 12，依 SSS 性質相似。
偵探自我檢核：
[ ] 我能檢查兩組邊成比例且所夾之角相等滿足 SAS。
[ ] 我確認相等的角是夾角而不是其他非夾角。
觀念釐清小撇步：強調 SAS 中的角必須是「夾角」，並對比全等性質，加深對相似判別的嚴謹理解。