【偵探任務情境 01】面積平方膨脹模型 🎯
小偵探用放大鏡觀察地圖：若兩個三角形相似，邊長比為 m：n，則它們的對應高、對應中線、周長比都等於 m：n；但面積是「底乘高」，長度乘了兩次，因此「面積比會等於邊長比的平方比」（m²：n²）！若 △ABC ∼ △DEF，且邊長比為 2：3，△ABC 面積為 16 平方公分，求 △DEF 的面積。
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：若相似形邊長比為 m：n，則 周長比 ＝ m：n，面積比 ＝ m²：n²
• 面積長高都要乘！邊長放大 2 倍，面積會變成 2 × 2 ＝ 4 倍！次方記心頭，平方跑不掉！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （隨堂動手填填看）
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S 尋找線索 (Search)
已知邊長比為 2：3，△ABC 面積為 16，求 △DEF 面積。
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T 轉譯關係 (Translate)
根據相似形面積性質：面積比 ＝ 邊長比的平方 ＝ 2²：3² ＝ 4：9。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
列式：16面積 ＝ 49，解得 △DEF 面積 ＝ (16 × 9) ÷ 4 ＝ 36 平方公分。
【範例計算】若兩相似多邊形邊長比為 3：5，較小面積為 27，則較大面積為 27 × (259) ＝ 。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
檢驗：邊長比 2：3，面積比 16：36 ＝ 4：9 ＝ 2²：3²，關係正確。
🎯 換你露一手 (馬上練習) （隨堂動手填填看）
【隨堂練功題】相似形邊長比與面積比（平方膨脹）：
1. 若 △ABC ∼ △DEF，且對應邊長比為 3：4：
兩三角形的周長比為 。
兩三角形的面積比為 3²：4² ＝ 。
2. 若 △ABC 面積為 18 平方公分，則 △DEF 面積 ＝ 18 × 169 ＝ 平方公分。
偵探自我檢核：
[ ] 我能牢記周長比等於邊長比，面積比等於邊長比的平方。
[ ] 我能利用面積比列出比例式並精確算出未知圖形面積。
💡 破案提示小撇步：口訣：『長度是一次方，面積平方變大王！』邊長 2 比 3，面積 4 比 9！
【偵探任務情境 02】四等分幾何模型 🎯
小水豚把三角形三邊中點 D、E、F 連接起來，神奇的事情發生了！這三條中點連線將原本的大三角形 ABC 切成了 4 個全等的小三角形！每個小三角形都與大三角形相似，邊長比是 1：2，面積剛好是大三角形的 14！若大三角形 ABC 面積為 60 平方公分，請問中間的 △DEF 面積是多少？
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：三邊中點連線分出的 4 個小三角形全等，面積皆為大三角形的 14
• 三邊中點連一連，大三角形變四片！每片形狀大小完全一樣，面積剛好占全部的四分之一！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （隨堂動手填填看）
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S 尋找線索 (Search)
已知 D、E、F 為三邊中點，大三角形 ABC 面積 ＝ 60。
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T 轉譯關係 (Translate)
利用中點連線面積分割性質：△DEF 面積 ＝ 14 × △ABC 面積。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
△DEF 面積 ＝ 14 × 60 ＝ 15 平方公分。
【範例計算】若小三角形面積為 8，則大三角形面積為 8 × 4 ＝ 。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
四個小三角形面積和：15 × 4 ＝ 60，恰好等於全部大面積。
🎯 換你露一手 (馬上練習) （隨堂動手填填看）
【隨堂練功題】中點連線分割四等分面積：
1. 連接 △ABC 三邊中點形成 △DEF：
若 △ABC 面積為 48，則中間 △DEF 面積 ＝ 48 × 14 ＝ 。
周圍梯形 BDEF 的面積 ＝ 48 × 34 ＝ 。
2. 若中間 △DEF 周長為 15，則大 △ABC 周長為 。
偵探自我檢核：
[ ] 我知道中點連線切出的 4 個小三角形全等且面積各占 1/4。
[ ] 我能推算梯形等複合圖形所佔的面積比例。
💡 破案提示小撇步：口訣：『三中點連線，切出四胞胎！』每片都是四分之一！
【偵探任務情境 03】溜滑梯筆順模型 🎯
在直角三角形中，只要一個銳角 θ 固定，無論三角形放大縮小，各邊長的比值都是定值！這就是銳角三角比：正弦 sin θ (斜邊分之對邊)、餘弦 cos θ (斜邊分之鄰邊)、正切 tan θ (鄰邊分之對邊)。用英文草寫筆順就像溜滑梯：s 沿著斜邊滑到對邊，c 環抱斜邊與鄰邊，t 從鄰邊爬上對邊！在直角邊為 3、4、斜邊為 5 的直角三角形中，求底角 θ 的三個三角比。
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：sin θ ＝ 對邊斜邊，cos θ ＝ 鄰邊斜邊，tan θ ＝ 對邊鄰邊
• 草寫英文字母是最好記的導航！s 畫溜滑梯（斜到對），c 畫圓弧夾角（斜到鄰），t 先底再高（鄰到對）！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （隨堂動手填填看）
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S 尋找線索 (Search)
直角三角形中，鄰邊 ＝ 4，對邊 ＝ 3，斜邊 ＝ 5。
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T 轉譯關係 (Translate)
代入三角比定義：sin ＝ 對/斜，cos ＝ 鄰/斜，tan ＝ 對/鄰。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
sin θ ＝ 35；cos θ ＝ 45；tan θ ＝ 34。
【範例計算】若對邊為 5，斜邊為 13，鄰邊為 12，則 sin θ ＝ 513，tan θ ＝ 5 。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
檢驗平方關係：sin²θ + cos²θ ＝ (35)² + (45)² ＝ 9 + 1625 ＝ 1，符合恆等式。
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【隨堂練功題】銳角三角比求值（直角三角形股 6、8，斜邊 10）：
1. 底角 θ 之鄰邊為 8，對邊為 6，斜邊為 10：
sin θ ＝ 對邊斜邊 ＝ 610 ＝ 35。
cos θ ＝ 鄰邊斜邊 ＝ 810 ＝ 45。
tan θ ＝ 對邊鄰邊 ＝ 68 ＝ 34。
2. 若對邊為 12，斜邊為 13，則 cos θ ＝ 513。
偵探自我檢核：
[ ] 我能依照筆順口訣正確寫出 sin、cos、tan 的比值定義。
[ ] 我能利用畢氏定理先求出第三邊再求三角比。
💡 破案提示小撇步：口訣：『筆順跟著字母跑，斜分對正弦、斜分鄰餘弦、鄰分對正切！』
【偵探任務情境 04】特殊三角板模型 🎯
數學書包裡的兩塊三角板藏著宇宙黃金比例！第一塊等腰直角三角形 (45°-45°-90°)，邊長比恆為 1：1：√2；第二塊特殊直角三角形 (30°-60°-90°)，30° 所對的短股是斜邊的一半，邊長比恆為 1：√3：2！只要記住這組比例，遇到特殊角就能光速秒殺。若一塊 30°-60°-90° 三角板的斜邊長為 10 公分，求另外兩邊的長度。
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：45°-45°-90° 邊長比 1：1：√2；30°-60°-90° 邊長比 1：√3：2
• 手上的三角板就是解題神器！45° 等腰是 1：1：√2，30°-60° 是 1：√3：2（30° 對最小邊 1，90° 對最大斜邊 2）！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （隨堂動手填填看）
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S 尋找線索 (Search)
已知角為 30°-60°-90°，斜邊（對應比例 2）長度為 10。
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T 轉譯關係 (Translate)
對應邊長比例 1：√3：2，基準 1 等份為 10 ÷ 2 ＝ 5。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
30° 對應之短邊 ＝ 5 公分，60° 對應之長邊 ＝ 5√3 公分。
【範例計算】等腰直角三角形腰長為 6，則斜邊長 ＝ 6 × √2 ＝ 。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
利用畢氏定理驗算：5² + (5√3)² ＝ 25 + 75 ＝ 100 ＝ 10²，計算完全吻合。
🎯 換你露一手 (馬上練習) （隨堂動手填填看）
【隨堂練功題】特殊三角板黃金邊長比：
1. 30°-60°-90° 三角形邊長比為 1：√3：2：
若斜邊為 12，則 30° 對應之短邊 ＝ 12 × 12 ＝ 。
60° 對應之長邊 ＝ 6 × √3 ＝ 。
2. 45°-45°-90° 等腰直角三角形邊長比為 1：1：√2：
若腰長為 5，則斜邊長 ＝ 。
偵探自我檢核：
[ ] 我能熟記 30-60-90 (1:√3:2) 與 45-45-90 (1:1:√2) 比例。
[ ] 我能根據已知邊長快速按比例推算其他兩邊。
💡 破案提示小撇步：口訣：『30 對 1，60 對根號 3，斜邊對 2！』黃金比例隨身帶！