【偵探任務情境 01】外心雨傘模型 🎯
小水豚撐開一把神奇幾何雨傘！三角形三邊的垂直平分線（中垂線）必然會交於同一點，這點就叫做「外心 (O)」。以外心為圓心、OA 為半徑畫圓，剛好可以包住三個頂點，稱為「外接圓」！因為三頂點都在圓周上，所以外心最強大的秘密武器就是：「外心到三角形的三頂點等距離」（OA ＝ OB ＝ OC ＝ R 外接圓半徑）！
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：外心 O 是「三邊中垂線交點」；核心性質：OA ＝ OB ＝ OC ＝ R
• 外心撐起大雨傘！傘頂外心到傘緣三個頂點距離通通一樣長（OA ＝ OB ＝ OC），三邊中垂線在此大集合！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
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S 尋找線索 (Search)
已知點 O 為 △ABC 的外心，AB ＝ 6, BC ＝ 8，求外心性質特徵。
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T 轉譯關係 (Translate)
依外心定義與性質：外心到三頂點等距，即 OA ＝ OB ＝ OC ＝ R。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
若已知 OA ＝ 7，則 OB ＝ 7，OC ＝ 7，外接圓直徑為 14。
【範例計算】若外心 O 到頂點 A 距離為 10，則外心到頂點 B 與 C 的距離亦皆為 10。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
確認外心中垂線定理：中垂線上的點到線段兩端點等距離，三邊中垂線自然交於到三頂點等距之點。
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【隨堂練功題】外心中垂線與三頂點等距離：
1. O 為 △ABC 的外心，已知 OA ＝ 9：
則外心到頂點 B 之距離 OB ＝ 9。
外接圓半徑 R ＝ 9，外接圓直徑 ＝ 18。
2. 外心是三角形三邊「垂直平分線（中垂線）」的交點。
偵探自我檢核：
[ ] 我牢記外心是中垂線交點，且外心到三頂點等距離 (OA=OB=OC)。
[ ] 我知道 OA、OB、OC 都是外接圓的半徑 R。
觀念釐清小撇步：強調外心是「中垂線」的交點，所以是到「頂點」等距離，切忌與內心混淆。
【偵探任務情境 02】外心位置躲貓貓模型 🎯
外心是個愛玩躲貓貓的頑皮鬼，在不同的三角形中，它的藏身位置完全不同！(1) 銳角三角形：外心乖乖躲在「三角形內部」；(2) 直角三角形：超級大考點！外心剛好位在「斜邊的中點」，因此直角三角形的「斜邊中線長 ＝ 外接圓半徑 ＝ 12 斜邊」！(3) 鈍角三角形：外心會跑到「三角形外部」！求兩股為 6 與 8 的直角三角形外接圓半徑。
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：直角三角形外心在「斜邊中點」，外接圓半徑 R ＝ 12 斜邊
• 外心躲貓貓三大位置：銳角在肚子裡、直角剛好躺在斜邊正中間、鈍角直接滾到三角形外面！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
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S 尋找線索 (Search)
已知為直角三角形，兩股分別為 6 與 8。
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T 轉譯關係 (Translate)
先算斜邊：斜邊 ＝ √(6² + 8²) ＝ √100 ＝ 10。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
直角三角形外心在斜邊中點，外接圓半徑 R ＝ 12 × 斜邊 ＝ 12 × 10 ＝ 5。
【範例計算】若一直角三角形斜邊為 13，則其外接圓半徑 R ＝ 132 ＝6.5。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
連結 2-2 圓周角定理：直徑所對圓周角為 90°，故 90° 直角所對的斜邊就是外接圓直徑！
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【隨堂練功題】直角三角形外心在斜邊中點（天王必考點）：
1. 直角三角形兩股長為 5 與 12：
斜邊長 ＝ √(5² + 12²) ＝ 13。
外心位置在「斜邊中點」。
外接圓半徑 R ＝ 13 ÷ 2 ＝ 6.5 (或 132)。
2. 銳角三角形外心在內部，鈍角三角形外心在外部。
偵探自我檢核：
[ ] 我能熟記直角三角形外心必定在斜邊中點。
[ ] 我能快速利用斜邊的一半求出直角三角形的外接圓半徑。
觀念釐清小撇步：「直角三角形外心在斜邊中點」是國中會考每年必出的超級天王考點，務必滾瓜爛熟！
【偵探任務情境 03】內心泡泡面積模型 🎯
小水豚在三角形肚子裡吹泡泡！三角形三個內角的平分線交於一點，稱為「內心 (I)」。以內心為圓心，可以畫出一個緊貼著三邊的「內切圓」！內心大絕招：第一，「內心到三邊的垂直距離等長」（等於內切圓半徑 r）；第二，「三角形面積 ＝ 12 × r × 周長」！若直角三角形三邊長為 6、8、10，求它的內切圓半徑 r。
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：內心 I 是「三內角平分線交點」，到三邊等距；面積 △ ＝ 12 × r × (a + b + c)
• 肚子裡吹泡泡！內切圓緊緊貼住三邊，內心到三邊距離都是半徑 r，三角形面積等於二分之一半徑乘周長！
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S 尋找線索 (Search)
直角三角形三邊為 6, 8, 10，周長 s ＝ 6 + 8 + 10 ＝ 24。直角三角形面積 ＝ (6 × 8) ÷ 2 ＝ 24。
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T 轉譯關係 (Translate)
代入面積與內切圓半徑公式：面積 ＝ 12 × r × (a + b + c)，即 24 ＝ 12 × r × 24。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
24 ＝ 12r，解得內切圓半徑 r ＝ 2。
【範例計算】直角三角形內切圓半徑速算公式：r ＝ a + b - c2 ＝ 6 + 8 - 102 ＝2。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
速算公式與面積公式答案完全吻合，確認無誤。
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【隨堂練功題】內心角平分線與三角形面積：
1. 直角三角形三邊為 5、12、13，面積 ＝ (5 × 12) ÷ 2 ＝ 30：
三角形周長 ＝ 5 + 12 + 13 ＝ 30。
代入面積公式：30 ＝ 12 × r × 30 ⇒ 內切圓半徑 r ＝ 2。
2. 內心是三角形「三內角平分線」的交點，內心到三邊的垂直距離相等。
偵探自我檢核：
[ ] 我熟記內心是角平分線交點，且內心到三邊垂直距離相等。
[ ] 我能熟練代入「面積 ＝ ½ × r × 周長」求內切圓半徑。
觀念釐清小撇步：強調將三角形分割成三個以 I 為頂點、r 為高的小三角形，證明面積公式 △ ＝ ½ r (a+b+c)。
【偵探任務情境 04】重心平衡模型 🎯
小水豚用手指頂住三角形的「重心 (G)」，整塊板子竟然平平穩穩不會掉！三角形三條「中線」的交點就是重心。重心具有兩大無敵幾何特徵：第一，「頂點到重心的距離比上重心到對邊中點的距離等於 2：1」（AG：GD ＝ 2：1）；第二，三條中線將整個三角形切成「6 個面積完全相等的小三角形」！若中線 AD 長度為 12，求 AG 與 GD 長度。
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：重心 G 是「三中線交點」；AG：GD ＝ 2：1；三中線平分出 6 個等面積小三角形
• 一指頂起平衡木！重心切中線為 2：1（上面長下面短），三條中線還把大三角形切成 6 塊大小完全一樣的蛋糕！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
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S 尋找線索 (Search)
已知中線 AD 長度 ＝ 12，G 為重心，比例 AG：GD ＝ 2：1。
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T 轉譯關係 (Translate)
總份數為 2 + 1 ＝ 3 份，每份為 12 ÷ 3 ＝ 4。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
AG ＝ 4 × 2 ＝ 8，GD ＝ 4 × 1 ＝ 4。
【範例計算】若三角形面積為 54，則重心與三頂點連線切出的小三角形面積皆為 54 ÷ 6 ＝9。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
檢驗：8 + 4 ＝ 12，且 8：4 ＝ 2：1，符合重心比例性質。
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【隨堂練功題】重心中線交點（2：1 比例與六等分面積）：
1. G 為 △ABC 重心，AD 為中線且 AD ＝ 15：
頂點到重心段 AG ＝ 15 × 23 ＝ 10。
重心到對邊中點段 GD ＝ 15 × 13 ＝ 5。
2. 若 △ABC 總面積為 72，則三中線所分出的 6 個小三角形面積皆為 72 ÷ 6 ＝ 12。
偵探自我檢核：
[ ] 我能熟練應用重心將中線分成 2：1 的長短段比例。
[ ] 我知道三條中線將大三角形平分為 6 個等面積小三角形。
觀念釐清小撇步：用物理平衡實驗或剪紙活動加深印象，並整理「三心總整理表（中垂線外心、角平分線內心、中線重心）」。