【偵探任務情境 01】機率撈球分數模型 🎯
小貓怪獸拿捕蟲網在彩色球箱裡撈球：在每一個結果發生機會都均等的前提下，某事件 A 發生的「機率 P(A)」本質就是一個分數比率！分母放「所有可能發生的全部結果總數 n(S)」，分子放「我們感興趣或想要發生的結果數 n(A)」。機率值永遠介於 0 與 1 之間（0 ≤ P ≤ 1）：P ＝ 0 代表絕不可能發生，P ＝ 1 代表必然百分之百發生！若箱中有 3 顆紅球、5 顆藍球，求抽中紅球的機率。
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💡 小波獸看圖心得：
• 核心公式：機率 P(A) ＝ 事件 A 的結果數 n(A)全部可能結果數 n(S) ＝ 想要全部 (0 ≤ P ≤ 1)
• 想要放在上面當分子，全部放在下面當分母！算完記得約成最簡分數，機率永遠在 0 到 1 之間！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
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S 尋找線索 (Search)
計算全部結果：3 顆紅球 + 5 顆藍球 ＝ 8 顆球，故全部結果數 n(S) ＝ 8。
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T 轉譯關係 (Translate)
確定想要結果：抽中紅球，紅球數 n(A) ＝ 3。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
抽中紅球的機率 P ＝ 38。
【範例計算】袋中有 4 白球、6 黑球，抽中白球機率 ＝ 410 ＝ 25。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
檢驗：38 + 58 ＝ 1，所有互斥事件機率總和恆為 1。
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【隨堂練功題】機率基本公式應用（摸球試驗）：
袋中有紅球 5 顆、藍球 3 顆、白球 2 顆，每顆球被抽取的機會均等：
1. 袋中共有球數 n(S) ＝ 5 + 3 + 2 ＝ 10 顆。
2. 抽中紅球的機率 P(紅) ＝ 510 ＝ 12。
3. 抽中白球的機率 P(白) ＝ 210 ＝ 15。
4. 抽中「黃球」的機率 P(黃) ＝ 0（不可能事件）。
偵探自我檢核：
[ ] 我能先求出全部可能結果總數當分母，再求目標事件數當分子。
[ ] 我知道求出機率值後必須約分成最簡分數。
觀念釐清小撇步：強調機率先決條件是「每種結果發生的機會均等」，並練習機率化為最簡分數。
【偵探任務情境 02】骰子等可能模型 🎯
小怪獸擲出公正的六面骰子：公正骰子點數 1 到 6 出現的機會完全均等，所以全部可能結果數分母恆為 6！當我們要算特定事件，例如「點數大於 4」時，只要數一數符合條件的點數有幾種：大於 4 的點數有 5 和 6 兩種，分子就是 2！機率就是 26 ＝ 13！請算出擲一顆骰子出現「質數點數」與「偶數點數」的機率。
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💡 小波獸看圖心得：
• 核心公式：擲骰子全部結果數 ＝ 6；P(質數) ＝ {2,3,5}6 ＝ 36 ＝ 12
• 骰子六面均等分！1、2、3、4、5、6 個個機會平等，想要什麼點數抓出來數一數，立刻得分！
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S 尋找線索 (Search)
公正骰子樣本空間 S ＝ {1, 2, 3, 4, 5, 6}，全部有 6 種可能。
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T 轉譯關係 (Translate)
質數點數有 {2, 3, 5} 共 3 種（注意 1 不是質數！）；偶數點數有 {2, 4, 6} 共 3 種。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
出現質數點數機率 ＝ 36 ＝ 12；出現偶數點數機率 ＝ 36 ＝ 12。
【範例計算】擲出點數小於 3（1 或 2）的機率 ＝ 26 ＝ 13。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
確認質數集合不含 1，計算嚴密無誤。
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【隨堂練功題】擲公正六面骰子一次：
1. 出現點數為「3 的倍數」({3, 6}) 的機率 ＝ 26 ＝ 13。
2. 出現點數「不大於 4」({1, 2, 3, 4}) 的機率 ＝ 46 ＝ 23。
3. 出現點數大於 6 的機率為 0；點數介於 1 到 6 的機率為 1。
偵探自我檢核：
[ ] 我能清楚列舉骰子符合條件的點數集合並計算個數。
[ ] 我理解「不大於」包含「小於或等於」，文字語意理解精確。
觀念釐清小撇步：每年會考都有學生誤把 1 當作質數，務必在此階段再次加強澄清數論基本觀念。
【偵探任務情境 03】樹狀圖分支模型 🎯
當事件分成好幾個步驟（例如連擲兩次硬幣、連續抽球兩次、生兩個小孩）時，很容易漏算或重複。這時「樹狀圖 (Tree Diagram)」就是最強救星！從起點開始，第一步畫出所有分支；再從每個分支末端，長出第二步的分支。順著每條樹枝走到最末端，有幾根終點樹梢，就代表全部有幾種可能結果！若一對夫妻生兩個孩子，求「兩個都是男孩」的機率。
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💡 小波獸看圖心得：
• 核心公式：生兩胎樹狀圖：男男、男女、女男、女女 (共 4 條路徑)；P(兩男) ＝ 14
• 步驟分叉像大樹！第一步分兩枝，第二步再分兩枝，一路順藤摸瓜數樹梢，所有可能一個不漏！
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S 尋找線索 (Search)
生孩子試驗分成兩步驟：第一胎（大寶）與第二胎（二寶），每胎生男或生女生機率均等。
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T 轉譯關係 (Translate)
繪製樹狀圖分支：大寶男 → (二寶男, 二寶女)；大寶女 → (二寶男, 二寶女)。全部共有 4 條路徑。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
想要結果為「兩男 (男, 男)」，只有 1 條路徑。機率 P ＝ 14。
【範例計算】求「一男一女」的機率：包含 (男,女) 與 (女,男) 共 2 條路徑，P ＝ 24 ＝ 12。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
注意：(男, 女) 與 (女, 男) 出生順序不同，是兩種獨立路徑，不可合為一種。
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【隨堂練功題】樹狀圖分析（同時投擲兩枚公正硬幣）：
1. 樹狀圖列出全部 4 種結果：(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)。
2. 出現「一正一反」的結果有 (正,反) 與 (反,正) 共 2 種，
機率 P ＝ 24 ＝ 12。
3. 出現「至少一個正面」的結果有 3 種，機率 P ＝ 34。
偵探自我檢核：
[ ] 我能藉由樹狀圖依序展開多步驟試驗的所有路徑分支。
[ ] 我知道兩硬幣正反與反正代表不同情況，不能合併看漏。
觀念釐清小撇步：強調樹狀圖的「順序性」，引導學生理解為什麼「一男一女」機率是 1/2 而不是 1/3。
【偵探任務情境 04】方格表排隊模型 🎯
阿誠與小歐相約搭捷運，捷運有 1、2、3、4 號共 4 節車廂。兩人各自獨立隨機選擇一節車廂上車。當遇到「兩個人」或「兩顆骰子」的配對問題時，畫「二維方格表（表格法）」比樹狀圖更神速乾淨！橫軸放阿誠選的車廂 (1~4)，縱軸放小歐選的車廂 (1~4)，方格表共有 4 × 4 ＝ 16 個格子！兩人「在同一節車廂」的格子剛好就是對角線上的 4 格。求兩人同車廂的機率。
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💡 小波獸看圖心得：
• 核心公式：二維表格總格數 ＝ m × n；同車廂格子 (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) 共 4 格，P ＝ 416 ＝ 14
• 橫縱交叉切方格！阿誠選 4 種，小歐選 4 種，4×4 ＝ 16 格！對角線上 4 格打勾勾，同車廂機率就是 1/4！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
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S 尋找線索 (Search)
阿誠有 4 種選擇，小歐有 4 種選擇，構成 4 × 4 的二維坐標網格，總結果數 ＝ 16。
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T 轉譯關係 (Translate)
同車廂條件：(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)，剛好分布在表格的主對角線上，共 4 種。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
同車廂機率 P ＝ 416 ＝ 14。
【範例計算】投擲兩顆公正骰子，點數和為 7 的格子有 (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) 共 6 格，機率為 636 ＝ 16。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
也可以換個直覺思考：不管阿誠上哪一節，小歐剛好選中同一節的機率就是 1/4，答案完全吻合。
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【隨堂練功題】投擲兩顆公正骰子（二維方格表）：
1. 兩顆骰子總點數組合數共有 6 × 6 ＝ 36 種。
2. 兩顆骰子「點數相同」的格子有 (1,1)~(6,6) 共 6 種，機率 ＝ 636 ＝ 16。
3. 兩骰「點數和大於 9」有 (4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6) 共 6 種，
機率 ＝ 636 ＝ 16。
偵探自我檢核：
[ ] 遇到兩顆骰子或兩人配對問題，我能熟練用 6x6 方格表解題。
[ ] 我能有條理地按行或對角線尋找符合特定點數條件的方格。
觀念釐清小撇步：「兩顆骰子」或「兩人選號」是會考必考大題，畫 6x6 或 4x4 方格表能確保 100% 不漏解。