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第六冊（九年級下學期） • 數位手帳塗鴉學習單
第六冊（九年級下學期） • 數位手帳塗鴉學習單
任務 01

我的數學塗鴉筆記：雙胞胎積木與易開罐：角柱與圓柱的幾何特徵 🧭

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【偵探任務情境 01】柱體雙胞胎特徵模型 🎯
小怪獸在積木城堡裡玩耍：所有的「柱體」都有兩大共通基因！基因一：「上下有兩個長得一模一樣（全等）且互相平行的雙胞胎底面」；基因二：「側面都是垂直豎立的長方形（或平行四邊形）」！如果底面是三角形，就叫「三角柱」；底面是圓形（像可樂易開罐），就叫「圓柱」！若一個正五角柱的底面邊長為 4，柱高為 10，請問它有幾個面、幾個頂點、幾條邊？

👀 畫給你看 (100% 繁體中文情境圖解)

雙胞胎積木與易開罐：角柱與圓柱的幾何特徵
💡 小波獸看圖心得：
• 核心公式：n 角柱：底面邊數 n；面數 ＝ n + 2；頂點數 ＝ 2n；邊數 ＝ 3n
• 上下全等是雙胞胎！底面是多邊形就是角柱，底面是圓形就是圓柱！側面展開通通都是長方形！

💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）

  • S 尋找線索 (Search)
    分析五角柱參數：底面邊數 n ＝ 5。
  • T 轉譯關係 (Translate)
    代入角柱幾何元素公式：面數 ＝ n + 2，頂點數 ＝ 2n，邊數 ＝ 3n。
  • A 求解運算 (Act & Calculate)
    面數 ＝ 5 + 2 ＝ 7 個面；頂點數 ＝ 2 × 5 ＝ 10 個頂點；邊數 ＝ 3 × 5 ＝ 15 條邊。
    【範例計算】六角柱有 6 + 2 ＝ 8 個面，2 × 6 ＝ 12 個頂點，3 × 6 ＝ 18 條邊。
  • R 檢核審查 (Review & Reflect)
    驗證：上下底面 2 個 + 側面 5 個 ＝ 7 個面，上下頂點各 5 個 ＝ 10 個，全部吻合。

🎯 換你露一手 (馬上練習) （點擊空格顯現答案）

【隨堂練功題】角柱的幾何特徵元素計算：
1. 正八角柱（底面邊數 n ＝ 8）：
   面數 ＝ n + 2 ＝ 8 + 2 ＝ 10 個面。
   頂點數 ＝ 2n ＝ 2 × 8 ＝ 16 個頂點。
   邊數（稜邊） ＝ 3n ＝ 3 × 8 ＝ 24 條邊。
2. 若某角柱有 18 條邊，則 3n ＝ 18 ⇒ n ＝ 6，它是正六角柱。
偵探自我檢核： [   ] 我能熟記 n 角柱的幾何公式：面 n+2、頂 2n、邊 3n。 [   ] 我能由邊數或頂點數反求角柱底面的邊數 n。
觀念釐清小撇步：歸納角柱三要素公式（面 n+2、頂 2n、邊 3n），並對比圓柱的曲面與兩圓底面。
任務 02

我的數學塗鴉筆記：地板疊疊樂魔術：柱體的體積計算 (底面積 × 高) 🧭

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【偵探任務情境 02】柱體疊疊樂體積模型 🎯
小怪獸玩地板疊疊樂：不管是三角柱、四角柱還是圓柱，所有「柱體的體積」計算方法通通完全一樣！想像地板是一塊底面積為 A 的餅乾，垂直向上疊了 h 層（高），柱體的體積就是「底面積乘上高」（V ＝ 底面積 × 高）！圓柱底面是圓形，底面積為 πr²，所以圓柱體積就是 πr²h！若一個圓柱底面半徑 r ＝ 3，柱高 h ＝ 8，求該圓柱的體積。

👀 畫給你看 (100% 繁體中文情境圖解)

地板疊疊樂魔術：柱體的體積計算 (底面積 × 高)
💡 小波獸看圖心得：
• 核心公式：柱體體積 V ＝ 底面積 × 高；圓柱體積 ＝ πr²h
• 一樓地板往上疊！不管底面長成三角形還是圓形，先算出底面積，再乘上柱子的高度就是體積！

💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）

  • S 尋找線索 (Search)
    已知圓柱半徑 r ＝ 3，柱高 h ＝ 8。
  • T 轉譯關係 (Translate)
    計算底面積：圓面積 A ＝ πr² ＝ π × 3² ＝ 9π。
  • A 求解運算 (Act & Calculate)
    圓柱體積 V ＝ 底面積 × 高 ＝ 9π × 8 ＝ 72π。
    【範例計算】底面為直角三角形（兩股為 6 與 8）的三角柱，高為 10，體積 ＝ (6 × 82) × 10 ＝ 24 × 10 ＝ 240。
  • R 檢核審查 (Review & Reflect)
    確認單位：面積是平方單位，乘上高度一次方，得到立方的體積單位。

🎯 換你露一手 (馬上練習) （點擊空格顯現答案）

【隨堂練功題】柱體的體積計算 (底面積 × 高)：
1. 圓柱底面半徑 r ＝ 5，柱高 h ＝ 12：
   底面積 A ＝ π × 5² ＝ 25π。
   圓柱體積 V ＝ 25π × 12 ＝ 300π。
2. 直角三角柱底面兩股為 3 與 4，柱高為 8：
   底面積 ＝ 3 × 42 ＝ 6，體積 V ＝ 6 × 8 ＝ 48。
偵探自我檢核： [   ] 我能牢記所有直柱體的體積公式皆為「底面積乘柱高」。 [   ] 圓柱體積記得圓面積為 πr²，並保留常數 π 計算。
觀念釐清小撇步：強調祖暅原理直覺：只要底面積與高相同，不論直柱或斜柱，體積皆相等（國中著重直柱體）。
任務 03

我的數學塗鴉筆記：拆開禮物包裝紙：柱體的表面積計算 (側面展開 + 2底面) 🧭

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【偵探任務情境 03】拆包裝紙表面積模型 🎯
小怪獸拆開禮物包裝紙：立體圖形的「表面積」，就是把它所有露在外面的皮攤平在桌上的總面積！柱體表面積 ＝「側面展開面積」+「2 個底面積」（上下各一個！別忘了有兩個底面喔！）。超級大秘密：柱體的側面剪開攤平後，永遠是一張大長方形！這張長方形的「長剛好等於底面的周長」，「寬就是柱高」！所以「側面積 ＝ 底面周長 × 高」！求底面半徑 4、高 10 的圓柱表面積。

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拆開禮物包裝紙：柱體的表面積計算 (側面展開 + 2底面)
💡 小波獸看圖心得：
• 核心公式：柱體表面積 ＝ 側面積 + 2 × 底面積 ＝ (底面周長 × 高) + 2 × 底面積
• 剪開包裝紙看透透！側面包裝紙剪開變長方形，長就是底面圓周 2πr，寬就是高！上下兩底面各乘一次！

💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）

  • S 尋找線索 (Search)
    圓柱底面半徑 r ＝ 4，高 h ＝ 10。求表面積。
  • T 轉譯關係 (Translate)
    分步算：(1) 底面周長 ＝ 2πr ＝ 8π；(2) 側面積 ＝ 底面周長 × 高 ＝ 8π × 10 ＝ 80π；(3) 兩底面積 ＝ 2 × (π × 4²) ＝ 32π。
  • A 求解運算 (Act & Calculate)
    表面積 ＝ 80π + 32π ＝ 112π。
    【範例計算】正四角柱底面邊長 5，高 6，側面積 ＝ (4 × 5) × 6 ＝ 120，兩底面積 ＝ 2 × 25 ＝ 50，總表面積 ＝ 170。
  • R 檢核審查 (Review & Reflect)
    檢查陷阱：底面是否有上下「兩個」都要加進去，千萬不能只加一個底面。

🎯 換你露一手 (馬上練習) （點擊空格顯現答案）

【隨堂練功題】柱體的表面積計算 (側面展開 + 2底面)：
圓柱底面半徑 r ＝ 3，柱高 h ＝ 7：
1. 底面圓周長 ＝ 2 × π × 3 ＝ 6π。
2. 側面展開為長方形，側面積 ＝ 6π × 7 ＝ 42π。
3. 兩個底面積之和 ＝ 2 × (π × 3²) ＝ 18π。
4. 圓柱總表面積 ＝ 42π + 18π ＝ 60π。
偵探自我檢核： [   ] 我知道柱體側面展開後為長方形，其長等於底面周長。 [   ] 我算柱體表面積絕不忘記上下各有一個底面（加 2 個底面）。
觀念釐清小撇步：許多學生背公式死記硬背容易忘，引導其透過「展開圖（展開長方形長＝底面周長）」理解幾何邏輯。
任務 04

我的數學塗鴉筆記：露營帳篷與派對帽：錐體的展開圖與表面積 🧭

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【偵探任務情境 04】錐體派對帽表面積模型 🎯
小怪獸戴著派對帽在帳篷前露營：「錐體」只有一個底面，頂部收攏在尖尖的頂點！底面是多邊形叫「角錐」，側面都是三角形；底面是圓形叫「圓錐」，側面展開是一塊美味的披薩「扇形」！錐體的表面積 ＝「側面積」+「1 個底面」（錐體只有一個底面喔！）。圓錐展開後的扇形弧長，剛好等於底面圓周長！若正四角錐底面邊長 6，側面四個等腰三角形的高（斜高）皆為 8，求其表面積。

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露營帳篷與派對帽：錐體的展開圖與表面積
💡 小波獸看圖心得：
• 核心公式：錐體表面積 ＝ 側面積 + 1 個底面積；圓錐側面展開為扇形 (弧長 ＝ 2πr)
• 尖尖帳篷帽子平鋪開！角錐側面是三角形，圓錐側面展開是扇形！錐體只有一個底面，千萬別乘 2 喔！

💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）

  • S 尋找線索 (Search)
    正四角錐底面為邊長 6 的正方形，側面為 4 個底邊 6、高 8 的三角形。
  • T 轉譯關係 (Translate)
    計算各面積：底面積 ＝ 6 × 6 ＝ 36；4 個側面三角形面積 ＝ 4 × (6 × 82) ＝ 4 × 24 ＝ 96。
  • A 求解運算 (Act & Calculate)
    表面積 ＝ 側面積 + 底面積 ＝ 96 + 36 ＝ 132。
    【範例計算】圓錐底面半徑 3，母線（展開扇形半徑）為 10，側面積 ＝ π × r × L ＝ π × 3 × 10 ＝ 30π，總表面積 ＝ 30π + 9π ＝ 39π。
  • R 檢核審查 (Review & Reflect)
    錐體只有 1 個底面，底面面積只加 1 次，與柱體加 2 次形成鮮明對比。

🎯 換你露一手 (馬上練習) （點擊空格顯現答案）

【隨堂練功題】錐體的表面積計算 (側面積 + 1底面)：
1. 正四角錐底面為邊長 8 的正方形，4 個側面等腰三角形的斜高為 10：
   底面積 ＝ 8 × 8 ＝ 64。
   4 個側面三角形面積 ＝ 4 × (8 × 102) ＝ 160。
   總表面積 ＝ 160 + 64 ＝ 224。
2. 圓錐底面半徑 4，母線 9，側面積 ＝ π × 4 × 9 ＝ 36π，總表面積 ＝ 52π。
偵探自我檢核： [   ] 我知道錐體只有尖端和 1 個底面，底面積只加 1 次。 [   ] 我能熟練計算展開後的三角形側面或扇形側面積。
觀念釐清小撇步：強調錐體與柱體表面積最大的差異：錐體只有 1 個底面；並補充圓錐側面積速算公式 πrL (L 為母線長)。