【偵探任務情境 01】排隊方陣與整除的秘密 🧩
有 12 位怪獸偵探要排成整齊的長方形方陣，可以怎麼排？1×12、2×6、3×4 都可以剛好排完沒有落單！如果排成 5 排，會剩下 2 隻怪獸，就不能整除！這跟「因數」與「倍數」有什麼關係？能把大數字剛好分完的數字叫什麼？
有 12 位怪獸偵探要排成整齊的長方形方陣，可以怎麼排？1×12、2×6、3×4 都可以剛好排完沒有落單！如果排成 5 排，會剩下 2 隻怪獸，就不能整除！這跟「因數」與「倍數」有什麼關係？能把大數字剛好分完的數字叫什麼？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 我們是因數（小積木 3 與 4）：負責拼湊組合的小零件。
• 我是倍數（大合體 12）：小積木相乘長大的大怪獸！
• 白話文密碼：能把大數字「剛好分完（整除）」的，就是它的因數！12 ÷ 3 ＝ 4 沒有餘數，3 和 4 都是 12 的因數，12 是 3 和 4 的倍數！
• 我們是因數（小積木 3 與 4）：負責拼湊組合的小零件。
• 我是倍數（大合體 12）：小積木相乘長大的大怪獸！
• 白話文密碼：能把大數字「剛好分完（整除）」的，就是它的因數！12 ÷ 3 ＝ 4 沒有餘數，3 和 4 都是 12 的因數，12 是 3 和 4 的倍數！
💡 偵探白話筆記 (因數倍數思考步驟) （點擊空格顯現答案）
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第一步：整除與因數倍數定義
整數 a 除以整數 b（b ≠ 0），若餘數為 0（稱為整除），則 b 是 a 的 因數，a 是 b 的 倍數。
★ 口訣：小積木是因數，大合體是倍數，能 整除 才能算！ -
第二步：彩虹成對找因數法（以 12 為例）
• 1 × 12 ＝ 12
• 2 × 6 ＝ 12
• 3 × 4 ＝ 12
因此 12 的所有正因數為：1、2、3、4、6、12。 -
第三步：兩大黃金定律
• 1 是任何正整數的因數，也是最小的正因數。
• 任何大於 0 的整數，最大的因數就是 本身，最小的倍數也是本身。
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1. 寫出下列各數的所有正因數：
• 18 的所有因數：1、2、3、6、9、18。
• 24 的所有因數：1、2、3、4、6、8、12、24。
2. 判斷下列各題是否成立（填「是」或「否」）：
• 6 是 42 的因數嗎？【是】。
• 65 是 13 的倍數嗎？【是】。
• 8 是 50 的因數嗎？【否（有餘數 2）】。
偵探自我檢核：
[ ] 找因數我會用乘法彩虹橋成對檢查
[ ] 我知道能整除（餘數為 0）才是因數
觀念釐清小撇步：找因數時引導學生用『彩虹相乘法』成對列出（如 1×18, 2×9, 3×6），頭尾相接不易遺漏！強調 1 是所有正整數的因數，任何大於 0 的整數都至少有 1 和自己兩個因數。
【偵探任務情境 02】數字世界的兩種性格！誰是無敵石頭？ 🪨
有些數字像樂高積木（比如 6），可以拆成更小的小積木 2×3；有些數字像堅固的花崗岩石頭（比如 7），除了 1 和自己之外，拿鐵鎚敲也敲不開！數字村裡還有哪兩位穿著特別衣服的 VIP 人物？
有些數字像樂高積木（比如 6），可以拆成更小的小積木 2×3；有些數字像堅固的花崗岩石頭（比如 7），除了 1 和自己之外，拿鐵鎚敲也敲不開！數字村裡還有哪兩位穿著特別衣服的 VIP 人物？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 質數（堅固石頭 7）：除了 1 和自己，誰都不能拆散它（因數恰好只有 2 個）！
• 合數（樂高積木 6）：除了 1 和自己，還能拆成其他積木相乘（因數有 3 個以上）！
• 特別人物 1：穿隱形斗篷，因數只有 1 個，不是質數也不是合數！
• 特別人物 2：頭戴皇冠，最小的質數，也是唯一的偶數質數！
• 質數（堅固石頭 7）：除了 1 和自己，誰都不能拆散它（因數恰好只有 2 個）！
• 合數（樂高積木 6）：除了 1 和自己，還能拆成其他積木相乘（因數有 3 個以上）！
• 特別人物 1：穿隱形斗篷，因數只有 1 個，不是質數也不是合數！
• 特別人物 2：頭戴皇冠，最小的質數，也是唯一的偶數質數！
💡 偵探白話筆記 (質數與合數辨析) （點擊空格顯現答案）
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第一步：質數 (Prime Number)
大於 1 的整數中，因數 只有 2 個（只有 1 和自己）的數，稱為質數。
例如：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... -
第二步：合數 (Composite Number)
大於 1 的整數中，除了 1 和自己之外還有其他因數（因數有 3 個或以上）的數，稱為合數。
例如：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15... -
第三步：兩大 VIP 特別人物（必考陷阱！）
• 數字 1：因數只有一個（就是它自己），所以 不是質數也不是合數！
• 數字 2：是最小的質數，也是質數群中 唯一偶數 的成員！其他偶數都是合數！
• 50 以內質數共 15 個，請熟記！
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1. 辨別下列各數是「質數」或「合數」：
• 27 是【合數（3×9＝27）】； 37 是【質數】。
• 51 是【合數（3×17＝51）】； 91 是【合數（7×13＝91）】。
2. 小於 30 的所有質數中，最大的質數是【29】。
3. 下列敘述何者正確？（填代號）：【C】
(A) 所有奇數都是質數 (B) 1 是最小的質數
(C) 2 是唯一的偶數質數 (D) 質數＋質數一定是偶數
偵探自我檢核：
[ ] 我知道 1 不是質數也不是合數
[ ] 我能警覺 51 和 91 都是合數
觀念釐清小撇步：段考兩大超高頻陷阱：① 誤以為『1 是質數』（1 因數只有 1 個，既非質數亦非合數）；② 誤以為『所有奇數都是質數』（如 9、15、21、27、51、91 都是合數！尤其是 51＝3×17 與 91＝7×13 是段考大魔王）。
【偵探任務情境 03】怪獸透視鏡！藏在肚子裡的純質基因 🧬
把怪獸 12 推進醫院的 X 光透視機，肚子裡照出了因數 2、3、4。但醫生說只有 2 和 3 是「無敵基因」，4 還能再拆不能算！到底什麼是「質因數」？怎樣用短除法或樹狀圖把合數全部拆成質數的乘積？
把怪獸 12 推進醫院的 X 光透視機，肚子裡照出了因數 2、3、4。但醫生說只有 2 和 3 是「無敵基因」，4 還能再拆不能算！到底什麼是「質因數」？怎樣用短除法或樹狀圖把合數全部拆成質數的乘積？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 質數 ＋ 因數 ＝ 質因數：既是因數、本身又是質數的無敵基因！
• 怪獸 12 的因數有 1, 2, 3, 4, 6, 12，其中只有 **2 與 3** 是質因數！
• 碎紙機原理：質因數分解就是把大合數一直拆、一直除，直到全部變成質數相乘（12 ＝ 2² × 3）！
• 質數 ＋ 因數 ＝ 質因數：既是因數、本身又是質數的無敵基因！
• 怪獸 12 的因數有 1, 2, 3, 4, 6, 12，其中只有 **2 與 3** 是質因數！
• 碎紙機原理：質因數分解就是把大合數一直拆、一直除，直到全部變成質數相乘（12 ＝ 2² × 3）！
💡 偵探白話筆記 (質因數分解三步驟) （點擊空格顯現答案）
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第一步：質因數的定義
一個整數的因數中，若該因數本身也是質數，則稱為該整數的 質因數。
例如：12 的因數有 1, 2, 3, 4, 6, 12，其中質因數只有 2、3。 -
第二步：質因數分解
將一個合數表示成數個 質數相乘 的式子，稱為質因數分解。
常用工具：樹狀圖或短除法（左側除數必須全為質數！）。 -
第三步：標準分解式規範
• 質因數底數必須 由小到大 排列。
• 連續相同的質因數必須使用 指數 簡記。
• 例：36 ＝ 2 × 2 × 3 × 3 ＝ 2² × 3²。
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1. 寫出 36 的所有質因數：【2、3】。
2. 將下列各數進行質因數分解，並以標準分解式表示：
• 60 ＝ 2² × 3 × 5。
• 180 ＝ 2² × 3² × 5。
3. 180 的所有質因數共有哪幾個？【2、3、5】。
偵探自我檢核：
[ ] 短除法左側我只放質數
[ ] 標準分解式底數由小到大、相同質數寫次方
觀念釐清小撇步：質因數分解時，短除法左側只能放『質數』（建議由小到大 2, 3, 5, 7 依序試除）。標準分解式務必將相同質因數寫成乘方（如 2×2 寫成 2²），底數不可寫合數（如寫成 4×9 是 0 分）。
【偵探任務情境 04】不按計算機！1 秒看穿倍數特異功能 👁️
看到一個五位數「81432」，要判斷它是不是 2、3、4、5、9、11 的倍數，難道要乖乖拿筆算六次除法嗎？偵探身上都帶著一張「神秘羊皮紙記憶卡」：看尾巴、大合體、跳格子！這些快速通關密碼到底怎麼用？
看到一個五位數「81432」，要判斷它是不是 2、3、4、5、9、11 的倍數，難道要乖乖拿筆算六次除法嗎？偵探身上都帶著一張「神秘羊皮紙記憶卡」：看尾巴、大合體、跳格子！這些快速通關密碼到底怎麼用？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 【看尾巴群】：2 的倍數（個位數是雙數 0,2,4,6,8）；5 的倍數（個位數是 0 或 5）；4 的倍數（最後兩節車廂能被 4 整除）！
• 【大合體群】：3 的倍數（各個位數字手牽手加起來能被 3 整除）；9 的倍數（各個位數字相加能被 9 整除）！
• 【跳格子群】：11 的倍數（奇數位和 － 偶數位和，相減是 0 或 11 的倍數）！
• 【看尾巴群】：2 的倍數（個位數是雙數 0,2,4,6,8）；5 的倍數（個位數是 0 或 5）；4 的倍數（最後兩節車廂能被 4 整除）！
• 【大合體群】：3 的倍數（各個位數字手牽手加起來能被 3 整除）；9 的倍數（各個位數字相加能被 9 整除）！
• 【跳格子群】：11 的倍數（奇數位和 － 偶數位和，相減是 0 或 11 的倍數）！
💡 偵探白話筆記 (倍數判別三秒殺) （點擊空格顯現答案）
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第一類：看尾巴（只看最後 1 或 2 碼）
• 2 的倍數：個位數字為 偶數（0, 2, 4, 6, 8）。
• 5 的倍數：個位數字為 0 或 5。
• 4 的倍數：末兩位數字是 00 或 末兩位能被 4 整除。 -
第二類：大合體（所有數字加總）
• 3 的倍數：各個位數字相加的和是 3 的倍數。
• 9 的倍數：各個位數字相加的和是 9 的倍數。 -
第三類：跳格子（奇偶位相減）
• 11 的倍數：(奇數位數字和) 與 (偶數位數字和) 之差是 0 或 11 的倍數。
🎯 換你露一手 (馬上練習) （點擊空格顯現答案）
(1) 五位數 81432：
• 尾巴是 2（偶數）→ 是 2 的倍數。
• 末兩位 32 ÷ 4 ＝ 8 → 是 4 的倍數。
• 數字和 8＋1＋4＋3＋2 ＝ 18（18 可被 3 與 9 整除）→ 是 3 與 9 的倍數。
• 跳格子：(8＋4＋2) － (1＋3) ＝ 14 － 4 ＝ 10（不是 0 或 11）→ 不是 11 的倍數。
• 結論：81432 是【2、3、4、9】的倍數。
• 尾巴是 2（偶數）→ 是 2 的倍數。
• 末兩位 32 ÷ 4 ＝ 8 → 是 4 的倍數。
• 數字和 8＋1＋4＋3＋2 ＝ 18（18 可被 3 與 9 整除）→ 是 3 與 9 的倍數。
• 跳格子：(8＋4＋2) － (1＋3) ＝ 14 － 4 ＝ 10（不是 0 或 11）→ 不是 11 的倍數。
• 結論：81432 是【2、3、4、9】的倍數。
(2) 四位數 53□2 是 4 的倍數，則 □ 內可填入哪些數字？【1、3、5、7、9】。
(3) 四位數 2□71 是 9 的倍數，則 □ ＝【8】。
(4) 五位數 18□42 是 11 的倍數，則 □ ＝【6】。
(3) 四位數 2□71 是 9 的倍數，則 □ ＝【8】。
(4) 五位數 18□42 是 11 的倍數，則 □ ＝【6】。
偵探自我檢核：
[ ] 4 看末兩位、3 和 9 看數字總和
[ ] 11 算奇數位和與偶數位和相減
觀念釐清小撇步：倍數判別分類記憶法：『看末位群』2、5、4、10（只看尾巴 1 或 2 碼）；『加總群』3、9（數字全加起來）；『跳格子群』11（奇數位和與偶數位和相減為 0 或 11 的倍數）。