【偵探任務情境 01】分配律幾何模型 🎯
怪獸農夫有一塊長方形農地，長為 (a + b)、寬為 (c + d)。將農地劃分為四個小區塊，分別種植小麥、玉米、番茄與向日葵。請計算整塊農地的總面積。
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
• 長方形大面積＝4塊小面積總和！(a+b)(c+d) 展開就是依序將左邊兩項乘上右邊兩項。
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S 尋找線索 (Search)
大長方形長＝(a+b)、寬＝(c+d)，面積＝長×寬＝(a+b)(c+d)。
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T 轉譯關係 (Translate)
利用面積分割原理，拆成左上 ac、右上 ad、左下 bc、右下 bd 共 4 塊小長方形。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd。
【範例計算】展開 (x + 3)(y + 5) =xy + 5x + 3y + 15。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
四項皆不同類項無法再合併，確認每項皆有分配相乘，無遺漏任何一項。
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【隨堂練功題】請利用乘法分配律展開下列兩式：
1. (x + 4)(y + 2) ＝ xy + 2x + 4y + 8
2. (2a + 3)(a + 5) ＝ 2a² + 10a + 3a + 15 ＝ 2a² + 13a + 15
偵探自我檢核：
[ ] 我能依序用彩虹箭頭將每一項展開，無遺漏任何一項。
[ ] 展開後如果有同類項（如 10a + 3a），我能正確合併為 13a。
觀念釐清小撇步：提醒初學同學畫「彩虹箭頭」：第一項乘前、後兩項，第二項再乘前、後兩項，共得 4 項。
【偵探任務情境 02】和平方公式模型 🎯
怪獸國王將邊長為 a 的正方形城堡向右擴建 b、向下擴建 b，形成一個邊長為 (a + b) 的嶄新大城堡。請問新城堡的總面積為何？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²
• 切記不可漏掉 2ab！大正方形除了兩塊正方形 a² 與 b² 外，還有兩塊相等的長方形 ab！
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S 尋找線索 (Search)
新城堡為邊長 (a + b) 的正方形，面積計算為 (a + b)²。
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T 轉譯關係 (Translate)
幾何圖形切分成一塊大正方形 a²、一塊小正方形 b²，以及兩塊面積皆為 ab 的對稱長方形。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
(a + b)² = a² + 2ab + b²。
【速算範例】計算 103² = (100 + 3)² = 100² + 2×100×3 + 3² = 10000 + 600 + 9 =10609。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
檢查中間項是否為「2×首項×尾項」= 2×100×3 = 600，相加正確無誤。
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【隨堂練功題】請利用和平方公式 (a + b)² ＝ a² + 2ab + b² 進行速算：
1. 102² ＝ (100 + 2)² ＝ 100² + 2×100×2 + 2² ＝ 10000 + 400 + 4 ＝ 10404
2. (3x + 2)² ＝ (3x)² + 2×(3x)×2 + 2² ＝ 9x² + 12x + 4
偵探自我檢核：
[ ] 我記住口訣：頭平方、尾平方，中間 2 倍首尾放！
[ ] 中間項 2ab 絕不漏乘 2，首項平方 (3x)² 正確算成 9x²。
觀念釐清小撇步：學生最常犯錯誤是誤寫為 a² + b²，務必藉由幾何拼圖強調中間那兩塊 ab 長方形！
【偵探任務情境 03】差平方公式模型 🎯
怪獸工匠有一塊邊長為 a 的大金屬板，欲裁切出一塊邊長為 (a - b) 的正方形。如何從原本面積 a² 中扣除多餘面積，求得 (a - b)² 的展開式？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²
• 扣掉兩條 ab 時，右下角的小正方形 b² 被扣了兩次，所以必須加回一塊 b² 補償！
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S 尋找線索 (Search)
欲求邊長為 (a - b) 的正方形面積，算式為 (a - b)²。
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T 轉譯關係 (Translate)
從大正方形面積 a² 中，扣除直條 ab 與橫條 ab，但交集處 b² 被多扣一次，需加回 +b²。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
(a - b)² = a² - 2ab + b²。
【速算範例】計算 198² = (200 - 2)² = 200² - 2×200×2 + 2² = 40000 - 800 + 4 =39204。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
40000 - 800 = 39200，再加 4 等於 39204，速算結果正確。
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【隨堂練功題】請利用差平方公式 (a - b)² ＝ a² - 2ab + b² 進行速算：
1. 99² ＝ (100 - 1)² ＝ 100² - 2×100×1 + 1² ＝ 10000 - 200 + 1 ＝ 9801
2. (2x - 5)² ＝ 4x² - 20x + 25
偵探自我檢核：
[ ] 差平方公式的尾巴永遠是加正 b²（負負得正）。
[ ] 能精準找出整百整十的基準數（99 = 100 - 1）來化簡計算。
觀念釐清小撇步：強調為什麼是『+ b²』而非『- b²』：負負得正，且扣除兩次重疊區後必須補回一次。
【偵探任務情境 04】平方差公式模型 🎯
在邊長 a 的大正方形中剪掉角落一個邊長 b 的小正方形，剩餘面積為 a² - b²。將剩下的 L 型區塊剪成兩半拼成一個大長方形，求其長與寬。
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：(a + b)(a - b) = a² - b²
• 拼圖大變身！面積完全不變，L 型 (a² - b²) 剛好等於長方形 (a+b)×(a-b)！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
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S 尋找線索 (Search)
邊長 a 正方形挖去邊長 b 小正方形，面積為 a² - b²。
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T 轉譯關係 (Translate)
將剩餘梯形切割後旋轉拼接，組合為長為 (a + b)、寬為 (a - b) 的長方形。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
(a + b)(a - b) = a² - b²。
【速算範例】計算 105 × 95 = (100 + 5)(100 - 5) = 100² - 5² = 10000 - 25 =9975。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
一加一減相乘，中間項 +ab 與 -ab 互相抵消，只剩下兩數平方相減。
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【隨堂練功題】請利用平方差公式 (a + b)(a - b) ＝ a² - b² 進行速算：
1. 52 × 48 ＝ (50 + 2)(50 - 2) ＝ 50² - 2² ＝ 2500 - 4 ＝ 2496
2. 105 × 95 ＝ (100 + 5)(100 - 5) ＝ 100² - 5² ＝ 9975
偵探自我檢核：
[ ] 一加乘以一減，中間交叉項自動抵消，只剩頭平方減尾平方。
[ ] 能先找兩數的平均中心點：(52+48)÷2 = 50。
觀念釐清小撇步：引導學生尋找兩對稱數的「平均基準點」：例如 105 與 95 的中心是 100，各差 5。