【偵探任務情境 01】畢氏定理弦圖模型 🎯
在直角三角形中，兩股長分別為 a 與 b，斜邊長為 c。中國古代趙爽弦圖以 4 個全等直角三角形拼成大正方形，如何證明 a² + b² = c²？
👀 畫給你看 (100% 繁體中文情境圖解)
💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：直角三角形中：a² + b² = c² (兩股平方和 = 斜邊平方)
• 千古第一定理！大正方形面積 (a+b)² ＝ 4×(1/2 ab) + c² 展開後完美得到 a² + b² = c²！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
-
S 尋找線索 (Search)
觀察由 4 個全等直角三角形（股長 a, b，斜邊 c）圍成的大正方形。
-
T 轉譯關係 (Translate)
大正方形面積 = (a + b)² = a² + 2ab + b²。
由拼圖拆解：大正方形面積 = 4 × (1/2 ab) + c² = 2ab + c²。
-
A 求解運算 (Act & Calculate)
兩式相等：a² + 2ab + b² = 2ab + c²。
兩邊同時消去 2ab，得證：a² + b² = c²。
-
R 檢核審查 (Review & Reflect)
適用條件嚴格限制：必須是「直角三角形」，斜邊 c 永遠在直角 90° 的正對面！
🎯 換你露一手 (馬上練習) （點擊空格顯現答案）
【隨堂練功題】在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°：
1. 若兩股 a ＝ 6、b ＝ 8，求斜邊 c：
c² ＝ 6² + 8² ＝ 36 + 64 ＝ 100 ➔ c ＝ 10
2. 畢氏定理公式：兩股平方和等於斜邊平方，即 a² + b² ＝ c²。
偵探自我檢核：
[ ] 明確標出哪一邊是斜邊（對著 90° 直角的最長邊）。
[ ] 求斜邊時兩股平方相加再開根號。
觀念釐清小撇步：提醒學生：斜邊永遠是最長的一邊，且正對著 90 度直角，寫算式時永遠將斜邊單獨放在等號一側。
【偵探任務情境 02】求未知邊長公式 🎯
直角三角形中：(1) 若兩股為 6 與 8，求斜邊 c；(2) 若斜邊為 13，一股為 5，求另一股 b。
👀 畫給你看 (100% 繁體中文情境圖解)
💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：斜邊 c = √(a² + b²) ； 股長 a = √(c² - b²)
• 求斜邊用加號，求短股用減號！牢記公式開平方，邊長永遠是正數！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
-
S 尋找線索 (Search)
(1) 已知兩股 a=6, b=8，求斜邊 c；(2) 已知斜邊 c=13，股 a=5，求股 b。
-
T 轉譯關係 (Translate)
(1) c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100。
(2) b² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144。
-
A 求解運算 (Act & Calculate)
(1) c = √100 = 10。
(2) b = √144 = 12。
-
R 檢核審查 (Review & Reflect)
檢驗：6-8-10 為 3-4-5 的 2 倍放大；5-12-13 符合畢氏三元數。
🎯 換你露一手 (馬上練習) （點擊空格顯現答案）
【隨堂練功題】已知直角三角形斜邊與一股，求另一股長度：
1. 斜邊 c ＝ 13，一股 a ＝ 5，求另一股 b：
b² ＝ c² - a² ＝ 13² - 5² ＝ 169 - 25 ＝ 144 ➔ b ＝ 12
2. 斜邊 c ＝ 10，一股 a ＝ 6 ➔ 另一股 b ＝ 8
偵探自我檢核：
[ ] 求股時一定要用斜邊平方『減去』已知股平方，切記不可寫成加法！
[ ] 開根號只取正值（邊長為幾何長度，必為正數）。
觀念釐清小撇步：求一股長時，務必用「斜邊平方 減去 另一股平方」，許多學生粗心寫成相加導致計算錯誤。
【偵探任務情境 03】畢氏三元數黃金比 🎯
每次算畢氏定理都要平方又開根號太慢了！數學家發現了幾組黃金整數比（畢氏三元數），背起來 3 秒就能寫出答案！
👀 畫給你看 (100% 繁體中文情境圖解)
💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：基本組：3-4-5、5-12-13、7-24-25、8-15-17 (及其任意 k 倍放大)
• 考試速算大絕招！記住 4 大黃金組，不管放大 2 倍、3 倍還是 10 倍，比例通通成立！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
-
S 尋找線索 (Search)
觀察直角三角形三邊整數比例關係。
-
T 轉譯關係 (Translate)
檢驗基本組：
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²
7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²
8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17²。
-
A 求解運算 (Act & Calculate)
放大 k 倍依然是畢氏三元數！例如：
3-4-5 放大 3 倍 ➔ 9-12-15；
5-12-13 放大 2 倍 ➔ 10-24-26。
-
R 檢核審查 (Review & Reflect)
若題目給定兩邊 9 與 15，求另一股：先除以 3 得比 3:?:5 ➔ 確定短股為 4×3 = 12，省去大數相乘。
🎯 換你露一手 (馬上練習) （點擊空格顯現答案）
【隨堂練功題】畢氏三元數黃金組合配對：
1. 最常見直角三角形整數比：3-4-5、5-12-13、7-24-25、8-15-17。
2. 若一三角形三邊長為 9、40、41：
檢查 9² + 40² ＝ 81 + 1600 ＝ 1681，41² ＝ 1681。兩者相等，故此三角形為 直角三角形。
3. 6、8、11 是否為直角三角形？ 答：否 (36+64=100 ≠ 121)
偵探自我檢核：
[ ] 逆畢氏定理：如果較短兩邊平方和等於最長邊平方，必為直角三角形！
[ ] 熟記 3-4-5 與 5-12-13 等倍數放大組合，提升解題速度。
觀念釐清小撇步：教導學生先「約分抓比例」：例如兩邊為 15 與 20，比為 3:4 ➔ 斜邊立刻推得 5×5 = 25。
【偵探任務情境 04】坐標距離與生活應用 🎯
情境：一隻消防雲梯長 25 公尺，靠在直立牆面上，梯腳離牆腳 7 公尺。若梯頂下滑 4 公尺，梯腳會向外滑動多少公尺？
👀 畫給你看 (100% 繁體中文情境圖解)
💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：兩點距離 AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] ； 梯長不變即斜邊固定
• 生活中的畢氏定理！雲梯滑落時『梯子本身長度永遠不變（斜邊固定）』！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
-
S 尋找線索 (Search)
梯長 c = 25，梯腳離牆 a = 7。求原高 h₁，下滑 4 公尺後新高 h₂ = h₁ - 4，求新底邊長與滑移距離。
-
T 轉譯關係 (Translate)
第一步：原梯高 h₁ = √(25² - 7²) = 24 公尺（7-24-25 組合）。
第二步：下滑 4 公尺後，新梯高 h₂ = 24 - 4 = 20 公尺。
-
A 求解運算 (Act & Calculate)
第三步：新底邊長 = √(25² - 20²) = √(625 - 400) = √225 = 15 公尺（3-4-5 放大 5 倍）。
第四步：梯腳向外滑動距離 = 15 - 7 = 8 公尺。
-
R 檢核審查 (Review & Reflect)
檢查：很多學生誤以為梯頂下滑 4 梯腳就滑 4，實際計算為 8 公尺，符合非線性幾何關係。
🎯 換你露一手 (馬上練習) （點擊空格顯現答案）
【隨堂練功題】坐標平面距離公式與滑梯情境題：
1. 求坐標平面上 A(1, 2) 與 B(4, 6) 兩點距離：
水平差 Δx ＝ 4 - 1 ＝ 3，鉛直差 Δy ＝ 6 - 2 ＝ 4。
距離 d ＝ √(3² + 4²) ＝ √(9 + 16) ＝ 5
2. 靠牆竹竿長 5 公尺，底端離牆 3 公尺，頂端高 4 公尺；若底端向外滑移 1 公尺至 4 公尺處，頂端下滑至高 3 公尺處。
偵探自我檢核：
[ ] 平面兩點距離公式：d ＝ √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]。
[ ] 滑梯問題中，竹竿/梯子長度固定不變（斜邊 c 維持恆定）。
觀念釐清小撇步：此題是段考經典殺手題，關鍵在於引導學生抓住「斜邊（梯長 25m）始終固定不變」。