【偵探任務情境 01】十字交乘基本功 🎯
因式分解 x² + 7x + 12。二次項係數為 1 時，如何尋找兩個整數，使其「相乘等於常數項 12、相加等於一次項係數 7」？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
• 十字交乘核心：積看尾巴 (乘積是12)，和看中間 (相加是7)！找出 3 與 4 搞定！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （隨堂動手填填看）
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S 尋找線索 (Search)
因式分解 x² + 7x + 12。
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T 轉譯關係 (Translate)
列出常數項 12 的乘積組合：1×12 (和13)、2×6 (和8)、3×4 (和7)。
選中 3 與 4，因為 3 + 4 = 7。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
十字交乘排法：
x +3 ➔ +3x
x +4 ➔ +4x
十字交叉相加：3x + 4x = 7x（符合中項）。
橫向讀出答案：(x + 3)(x + 4)。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
展開驗算：(x + 3)(x + 4) = x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x + 12，正確。
🎯 換你露一手 (馬上練習) （隨堂動手填填看）
【隨堂練功題】請利用十字交乘法分解二次三項式：
1. x² + 5x + 6：
拆首項 x × x，拆尾項 2 × 3。交叉相乘：3x + 2x ＝ 5x (符合中間項)。
分解結果 ＝
2. x² + 8x + 12 ＝
偵探自我檢核：
[ ] 頭拆頭、尾拆尾，交叉相乘相加湊中間！
[ ] 橫著寫出分解因式：(x + p)(x + q)。
💡 破案提示小撇步：口訣：『乘積看常數，相加驗中間，交叉算一算，橫向寫答案！』
【偵探任務情境 02】常數項為正配對 🎯
因式分解 x² - 8x + 15。常數項 +15 為正數，但中間一次項 -8 是負數！這意味著分解出的兩個因數必須具備什麼符號特徵？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：常數項 > 0 ➔ 兩因數同號：中項為負則兩因數「皆為負數」
• 同號法則：常數是正數，代表兩個數字國籍相同！中間是負的，所以兩個都得是負數！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （隨堂動手填填看）
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S 尋找線索 (Search)
因式分解 x² - 8x + 15。
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T 轉譯關係 (Translate)
常數項為 +15（正數），一次項為 -8（負數）。
故兩數必皆為負數：(-1)×(-15) [和-16]、(-3)×(-5) [和-8]。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
十字交乘：
x -3 ➔ -3x
x -5 ➔ -5x
交叉相加：(-3x) + (-5x) = -8x。
答案：(x - 3)(x - 5)。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
展開：x² - 5x - 3x + 15 = x² - 8x + 15，符合原式。
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【隨堂練功題】常數項為正（兩因數同號，中間負則同為負）：
1. x² - 7x + 12：
常數項為 +12，中間項為 -7x，故兩因數皆為負數：(-3) × (-4) ＝ +12，(-3) + (-4) ＝ -7。
分解結果 ＝
2. x² - 9x + 20 ＝
偵探自我檢核：
[ ] 觀察常數項正號：同正或同負；中間項為負號時，兩個拆數必同為負數！
[ ] 確認 (-4) × (-5) = +20 且 (-4) + (-5) = -9。
💡 破案提示小撇步：看到常數項 + 號：『兩數同號！中間是負的，那兩邊都填減號！』
【偵探任務情境 03】常數項為負配對 🎯
因式分解 x² + 2x - 24 與 x² - 5x - 24。常數項為負數 (-24) 代表一正一負，誰正誰負該如何由一次項符號裁決？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：常數項 < 0 ➔ 兩因數異號：中項為正則大數為正；中項為負則大數為負
• 異號拔河比賽！常數項是負數代表一正一負，相減看中間，勝者（中項符號）留在數字大的那邊！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （隨堂動手填填看）
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S 尋找線索 (Search)
因式分解 (1) x² + 2x - 24 ； (2) x² - 5x - 24。
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T 轉譯關係 (Translate)
常數項為 -24，尋找相差為 2 與相差為 5 的因數對：
4 與 6 相差 2；3 與 8 相差 5。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
(1) 中間為 +2x（正勝）➔ 取 +6 與 -4：
(x + 6)(x - 4)。
(2) 中間為 -5x（負勝）➔ 取 -8 與 +3：
(x - 8)(x + 3)。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
驗算：(x+6)(x-4) = x² + 2x - 24；(x-8)(x+3) = x² - 5x - 24，兩題皆吻合。
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【隨堂練功題】常數項為負（兩因數一正一負拔河，中間項符號跟大數）：
1. x² + 2x - 15：
常數為 -15，差為 +2，拆 (+5) × (-3) ＝ -15，(+5) + (-3) ＝ +2。
分解結果 ＝
2. x² - 3x - 10 ＝
偵探自我檢核：
[ ] 常數項為負時，拆出的兩數必定一正一負。
[ ] 中間項是正的，代表正數絕對值比較大；中間項是負的，負數絕對值大。
💡 破案提示小撇步：常數是減號，代表一正一負在拔河！中間贏的人（正或負），代表數字大的那邊！
【偵探任務情境 04】進階十字交乘法 🎯
因式分解：(1) 2x² + 7x + 3 ； (2) -6x² + 15x + 9。首項係數不是 1，甚至前面有負號時，該如何拆解與先提公因式？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：ax² + bx + c = (a₁x + c₁)(a₂x + c₂) ； 先提負號與公因數
• 首項大於 1，頭尾都要拆！如果首項有負號或大家有公因數，務必『先提公因式』再交乘！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （隨堂動手填填看）
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S 尋找線索 (Search)
(1) 2x² + 7x + 3；(2) -6x² + 15x + 9。
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T 轉譯關係 (Translate)
(1) 2x² 拆為 (2x, x)；3 拆為 (1, 3)。
(2) 先提公因數 -3：原式 = -3(2x² - 5x - 3)。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
(1) 十字交乘：
2x +1 ➔ +1x
x +3 ➔ +6x
交叉和 = 7x ➔ (2x + 1)(x + 3)。
(2) 對括號內 2x² - 5x - 3 做十字交乘：
2x +1 ➔ +1x
x -3 ➔ -6x
交叉和 = -5x ➔ (2x + 1)(x - 3)。
最終完整答案：-3(2x + 1)(x - 3)。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
反向展開驗算：-3(2x² - 5x - 3) = -6x² + 15x + 9，答案正確。
🎯 換你露一手 (馬上練習) （隨堂動手填填看）
【隨堂練功題】二次項係數不為 1 的十字交乘法：
1. 2x² + 7x + 3：
首項拆 2x 與 x，尾項拆 1 與 3。交叉相乘：2x×3 + x×1 ＝ 6x + x ＝ 7x。
分解結果 ＝
2. 3x² - 5x - 2 ＝
偵探自我檢核：
[ ] 首項係數大於 1 時，交叉配對的位置會大幅影響交叉乘積大小。
[ ] 耐心列出首尾因數組合，檢驗交叉和是否完全符合中間項。
💡 破案提示小撇步：最高準則：『有公因式先提出來，首項有負號先丟外面！』數字變小才好算！