【偵探任務情境 01】方程式標準式與根 🎯
判斷 2x² - 3x = 5 是否為一元二次方程式？並檢驗 x = 1 與 x = -1 是否為其解？方程式的標準式規定為何？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：一般標準式：ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0，二次項係數絕不能為 0)
• 一元二次方程式：只有一個未知數、最高次方是 2、且等號一邊整理成 0！代入能讓等式成立的就是解！
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S 尋找線索 (Search)
將 2x² - 3x = 5 化為標準式並檢驗根。
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T 轉譯關係 (Translate)
移項得標準式：2x² - 3x - 5 = 0。
分別代入 x = 1 與 x = -1 檢驗左式是否等於 0。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
標準式：2x² - 3x - 5 = 0（a=2, b=-3, c=-5）。
代入 x = 1：2(1)² - 3(1) - 5 = 2 - 3 - 5 = -6 ≠ 0（不是解）。
代入 x = -1：2(-1)² - 3(-1) - 5 = 2 + 3 - 5 = 0（是解！）。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
檢查最高次方為 2，a=2 ≠ 0，確認為一元二次方程式，x = -1 成立。
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【隨堂練功題】方程式的標準式與解的檢驗：
1. 一元二次方程式標準式：ax² + bx + c ＝ 0 (其中 a ≠ 0)。
2. 檢驗 x ＝ 2 是否為方程式 x² - 5x + 6 ＝ 0 的解：
代入左式：2² - 5×2 + 6 ＝ 4 - 10 + 6 ＝ 0 ＝ 右式，故 x ＝ 2 是 此方程式的解。
3. 一元二次方程式通常有 2 個根（解）。
偵探自我檢核：
[ ] 解題前務必將方程式整理為等號右邊等於 0 的標準式！
[ ] 解的定義：將數值代入原方程式，能使等號左右兩邊成立。
觀念釐清小撇步：提醒學生：一定要先移項整理成『右邊等於 0』的標準式，才容易判斷係數與因式分解。
【偵探任務情境 02】乘積為零定理 🎯
解方程式 (x - 3)(2x + 1) = 0 與 x² = 5x。為什麼很多同學把 x² = 5x 兩邊同除以 x 得到 x = 5 會少掉一個根？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：若 A × B = 0，則 A = 0 或 B = 0 ； 兩邊同除以 x 會遺失 x = 0 的根！
• 千古大忌：等號兩邊絕對不可以隨意除以 x！因為 x 可能是 0！若除以 x 就會把 0 給除掉了！
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S 尋找線索 (Search)
解方程式 (1) (x - 3)(2x + 1) = 0 ； (2) x² = 5x。
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T 轉譯關係 (Translate)
(1) 套用乘積為零定理：x - 3 = 0 或 2x + 1 = 0。
(2) 移項得 x² - 5x = 0，提公因式 x(x - 5) = 0。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
(1) x - 3 = 0 ➔ x = 3 ； 2x + 1 = 0 ➔ x = -1/2。
解為 x = 3 或 -1/2。
(2) x(x - 5) = 0 ➔ x = 0 或 x - 5 = 0 ➔ x = 0 或 5。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
將 x=0 代入 x²=5x：0² = 5×0 = 0，成立！證明 0 確實是方程式的根。
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【隨堂練功題】乘積為零原理（嚴禁隨意除以未知數）：
1. 若 A × B ＝ 0，則 A ＝ 0 或 B ＝ 0。
2. 解方程式 (x - 3)(x + 4) ＝ 0：
得 x - 3 ＝ 0 或 x + 4 ＝ 0，故 x ＝ 3 或 -4。
3. 解 x(x - 5) ＝ 0 ➔ x ＝ 0 或 5（千萬不能兩邊同除以 x 而漏掉 x=0！）。
偵探自我檢核：
[ ] 警訊：未知數可能是 0，方程式兩邊絕對不可任意同除未知數，會失根！
[ ] 寫解答時記得用『或』連接兩個解。
觀念釐清小撇步：再三告誡：解方程式時「除以代數式」是失分大宗，務必堅持「移項至同一邊提公因式」。
【偵探任務情境 03】提公因式解方程 🎯
解方程式：(1) 3x² + 6x = 0 ； (2) (x - 2)² = 3(x - 2)。常數項為 0 或兩邊含有相同括號時，如何提公因式求解？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：提公因式法：將方程式化為 A(B) = 0，分別令 A=0 或 B=0
• 整塊移項過來，公因式提出去！千萬不要把括號直接約分消掉，移項提取最安全！
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S 尋找線索 (Search)
解 (1) 3x² + 6x = 0 ； (2) (x - 2)² = 3(x - 2)。
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T 轉譯關係 (Translate)
(1) 提出 3x：3x(x + 2) = 0。
(2) 移項：(x - 2)² - 3(x - 2) = 0，提出 (x - 2)。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
(1) 3x = 0 或 x + 2 = 0 ➔ x = 0 或 x = -2。
(2) (x - 2)[(x - 2) - 3] = 0 ➔ (x - 2)(x - 5) = 0 ➔ x = 2 或 x = 5。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
代入驗算：x=2 時兩邊皆為 0；x=5 時 (5-2)² = 9，3×(5-2) = 9，等式均成立。
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【隨堂練功題】利用提公因式解一元二次方程式：
1. 解方程式 x² - 6x ＝ 0：
提公因式 x(x - 6) ＝ 0 ➔ x ＝ 0 或 6。
2. 解方程式 2x(x + 1) - 3(x + 1) ＝ 0：
提括號公因式 (x + 1)(2x - 3) ＝ 0 ➔ x ＝ -1 或 3/2。
偵探自我檢核：
[ ] 缺乏常數項的方程式（如 x² - 6x = 0），必定有 x = 0 這個解。
[ ] 若兩邊有相同的因式括號，應移項提公因式，萬不可兩邊直接消去！
觀念釐清小撇步：第二小題中，若學生直接約掉 (x-2)，會直接丟失 x=2 的解，必須再三強調移項重要性。
【偵探任務情境 04】十字交乘解方程 🎯
解方程式 x² - 2x - 15 = 0 與 2x² - 5x + 2 = 0。如何先用十字交乘法因式分解，再令各一次因式為 0 求出兩根？
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💡 怪獸偵探看圖心得：
• 核心公式：ax² + bx + c = (px + q)(rx + s) = 0 ➔ x = -q/p 或 -s/r
• 因式分解就是為了求解！十字交乘分解成兩個括號相乘等於 0，分別讓括號變成 0 就能秒出答案！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
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S 尋找線索 (Search)
解 (1) x² - 2x - 15 = 0 ； (2) 2x² - 5x + 2 = 0。
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T 轉譯關係 (Translate)
(1) 常數 -15 拆為 (-5) × (+3)，和為 -2 ➔ (x - 5)(x + 3) = 0。
(2) 2x² 拆 (2x, x)，+2 拆 (-1, -2) ➔ 交叉和 -4x - x = -5x ➔ (2x - 1)(x - 2) = 0。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
(1) x - 5 = 0 ➔ x = 5 ； x + 3 = 0 ➔ x = -3。
解為 x = 5 或 -3。
(2) 2x - 1 = 0 ➔ x = 1/2 ； x - 2 = 0 ➔ x = 2。
解為 x = 1/2 或 2。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
代入驗算：5² - 2(5) - 15 = 25 - 10 - 15 = 0，無誤。
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【隨堂練功題】利用十字交乘法解一元二次方程式：
1. 解方程式 x² - 7x + 10 ＝ 0：
因式分解 (x - 2)(x - 5) ＝ 0 ➔ x ＝ 2 或 5。
2. 解方程式 x² + 2x - 8 ＝ 0：
因式分解 (x + 4)(x - 2) ＝ 0 ➔ x ＝ -4 或 2。
3. 解方程式 x² - 6x + 9 ＝ 0 ➔ (x - 3)² ＝ 0 ➔ x ＝ 3 (重根)。
偵探自我檢核：
[ ] 注意正負號變換：(x - 2)(x - 5) = 0 的解是 x = +2, +5（正負要顛倒）。
[ ] 當因式分解為完全平方 (x - 3)² = 0 時，解為 x = 3，需註明『重根』。
觀念釐清小撇步：提醒學生注意符號反轉：因式是 (x - 5)，解出來是『+5』；因式是 (x + 3)，解出來是『-3』。