【偵探任務情境 01】乘法倍增機模型 🎯
怪獸實驗室有一台魔法倍增機，投入 1 個數字，每次都會乘以固定的倍數！例如數列 1、2、4、8、16、32...從前一個數字到下一個數字，每次都乘以 2！在數學中，相鄰兩項的比值固定不變的數列稱為「等比數列」，這個固定乘上的倍數叫做「公比 (r)」。公比必須用「後項除以前項」計算。請找出此數列的公比。
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：公比 r = aₙaₙ₋₁ (後項除以前項，r ≠ 0)
• 魔法倍增機啟動！每個數字都乘上相同的倍數，後項除以前項就是公比 r！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
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S 尋找線索 (Search)
觀察數列 1, 2, 4, 8, 16, 32，計算相鄰兩項的比值：2÷1=2，4÷2=2，8÷4=2。
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T 轉譯關係 (Translate)
比值固定為常數 2，確認為等比數列，公比 r = 2。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
公比 r = 21 = 2。
【範例計算】數列 81, -27, 9, -3，公比 r = -2781 = -1"den">3。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
注意公比的正負號：若公比為負數，數列的正負號會一正一負交錯出現。
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【隨堂練功題】請判斷並求下列等比數列的公比 r：
1. 數列 2, 6, 18, 54，公比 r ＝ 6 ÷ 2 ＝ 3。
2. 數列 32, -16, 8, -4，公比 r ＝ (-16) ÷ 32 ＝ -12。
3. 數列 7, 7, 7, 7，公比 r ＝ 7 ÷ 7 ＝ 1。
偵探自我檢核：
[ ] 我記住公比 r 必須用「後項除以前項」，不能前後顛倒。
[ ] 正負符號交替出現時，公比一定為負數。
觀念釐清小撇步：提醒學生公比不能為 0，且計算公比是「後項 ÷ 前項」，不可前後顛倒。
【偵探任務情境 02】連乘石階模型 🎯
小水豚在等比石階上跳躍，從第 1 階（首項 a₁ = 3）出發，每跳一步數字就翻倍（乘以公比 r = 2）。跳 1 步到第 2 階乘 1 次 r，跳 2 步到第 3 階乘 2 次 r...要跳到第 n 階，總共需要連乘 (n - 1) 次公比 r！因此第 n 項公式為 aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹。請算出此等比數列的第 6 項。
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ (首項乘上公比的 n-1 次方)
• 跳跳石階大秘密：到達第 n 顆石頭，只需要跳 (n - 1) 次，所以乘上 r 的 (n - 1) 次方！
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S 尋找線索 (Search)
首項 a₁ = 3，公比 r = 2，目標求第 6 項 a₆。
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T 轉譯關係 (Translate)
代入等比第 n 項公式：a₆ = a₁ · r⁶⁻¹ = 3 · 2⁵。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
a₆ = 3 × 32 = 96。
【範例計算】首項 1000、公差比 r = 110，求第 4 項：a₄ = 1000 × (110)³ = 1000 × 11000 =1。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
檢驗：3, 6, 12, 24, 48, 96，依序驗算 6 項完全吻合。
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【隨堂練功題】利用等比第 n 項公式 aₙ ＝ a₁ · rⁿ⁻¹ 解題：
1. 首項 a₁ ＝ 5，公比 r ＝ 2，求第 7 項：
a₇ ＝ 5 × 2⁷⁻¹ ＝ 5 × 2⁶ ＝ 5 × 64 ＝ 320。
2. 首項 81，公比 13，求第 5 項：
a₅ ＝ 81 × (13)⁴ ＝ 81 × 181 ＝ 1。
偵探自我檢核：
[ ] 求第 n 項時，公比的次方是 (n - 1) 次方，而非 n 次方。
[ ] 能熟練計算 2 的次方與分數乘方的約分運算。
觀念釐清小撇步：強調指數是 (n - 1) 而非 n，因為從首項開始已經佔了第一位。
【偵探任務情境 03】幾何面積平衡卡 🎯
當三個非零數 a、b、c 成等比數列時，最中間的數字 b 稱為「等比中項」。小水豚發現了一個驚天秘密：公比 r = b/a = c/b，交叉相乘後得到 b² = ac！也就是「中間項自己乘自己，等於左右兩邊相乘」！如果前後兩數分別為 4 與 9，請問它們的等比中項是多少？
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：b² = ac，即 b = ±√(ac) (注意正負雙解！)
• 等比中項大絕招！中間平方等於左右相乘 (b² = ac)。開根號記得加上正負號喔！
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S 尋找線索 (Search)
已知數列 4, b, 9 為等比數列，b 為等比中項。
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T 轉譯關係 (Translate)
依等比中項性質列式：b² = 4 × 9 = 36。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
b = ±√36 = ±6。
【範例計算】求 2 與 8 的等比中項：b² = 2 × 8 = 16，b =±4。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
檢驗兩組解：4, 6, 9 (公比 1.5) 與 4, -6, 9 (公比 -1.5) 皆為合法等比數列，必須回答 ±6！
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【隨堂練功題】求等比中項：
1. 求 3 與 27 的等比中項：
b² ＝ 3 × 27 ＝ 81 ⇒ b ＝ ±9。
2. 若 2, x, 32 為等比數列，則 x ＝ ±8。
3. 若已知 a, b, c 為正數成等比數列，且 a ＝ 2, c ＝ 50，則 b ＝ 10。
偵探自我檢核：
[ ] 我記住等比中項公式：中間平方等於左右相乘 (b² ＝ ac)。
[ ] 開平方根時絕不漏掉「± 正負雙解」，除非題目特別指定正數！
觀念釐清小撇步：學生極易漏掉負號！務必強調 b² = 36 開平方根必有正負兩解，除非題目特別註明各項為正數。
【偵探任務情境 04】彈跳球縮小模型 🎯
小水豚將一顆神奇彈跳球從 200 公分高處自由落下，每次彈起的高度恰好是落下前高度的 12（即公比 r = 0.5）。請問第 1 次、第 2 次、第 3 次、第 4 次彈起的高度各是多少？第 5 次彈起的高度是多少公分？
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：彈起高度數列：hₙ = 200 × (12)ⁿ
• 彈跳球等比縮小術！每次彈起都剩一半：200 -> 100 -> 50 -> 25 -> 12.5 -> 6.25 公分！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
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S 尋找線索 (Search)
落下高度 200 cm，第 1 次彈起高度為 200 × 0.5 = 100 cm。
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T 轉譯關係 (Translate)
彈起高度形成等比數列：首項 h₁ = 100，公比 r = 0.5。
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A 求解運算 (Act & Calculate)
第 1 次：100 cm；第 2 次：50 cm；第 3 次：25 cm；第 4 次：12.5 cm；第 5 次：6.25 cm。
【範例計算】細胞分裂每小時翻 1 倍 (r = 2)，原本有 5 隻，4 小時後共有 5 × 2⁴ =80 隻。
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R 檢核審查 (Review & Reflect)
檢驗：第 5 次為 100 × (0.5)⁴ = 100 × 116 = 6.25 cm，符合生活常理。
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【隨堂練功題】等比數列的應用：
1. 某種細菌每過 30 分鐘數量就增加為原來的 2 倍（分裂一次）。若原本培養皿內有 10 隻細菌：
• 經過 2 小時（共分裂 4 次），細菌共有 10 × 2⁴ ＝ 160 隻。
2. 一張厚度 0.1 毫米的紙對折 5 次後，厚度變為 0.1 × 2⁵ ＝ 3.2 毫米。
偵探自我檢核：
[ ] 我能找出翻倍的次數 n，並正確代入等比模型運算。
[ ] 能理解生活中指數增長與等比數列的密切關聯。
觀念釐清小撇步：注意審題：初始高度 200 不是第 1 次彈起的高度，第 1 次彈起是 100（首項）。