【偵探任務情境 01】中垂線到兩端點等距 🎯
小水豚站在線段 AB 的中垂線上，不管他往上走還是往下走，他驚訝地發現：自己走到左邊端點 A 的距離，跟走到右邊端點 B 的距離，竟然永遠「一模一樣長」（PA = PB）！這就是中垂線定理：垂直平分線上任一點，到線段兩端點等距離。如果 P 在 AB 的中垂線上，PA = 15 公分，請問 PB 是多少？
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💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：若直線 L 垂直平分線段 AB，且 P 在 L 上，則 PA = PB
• 超公平分界線！只要站在中垂線上，不管站高站低，到左端點 A 和到右端點 B 的距離絕對一模一樣！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
S 尋找線索 (Search)
已知直線 L 為線段 AB 的垂直平分線，點 P 在 L 上。
T 轉譯關係 (Translate)
依中垂線性質：PA = PB。
A 求解運算 (Act & Calculate)
PB = PA = 15 公分。
【範例計算】在 △ABC 中，L 為 BC 的中垂線交 AC 於 D，若 AB = 8, AC = 10，則 △ABD 周長 = AB + AD + BD = AB + AD + CD = AB + AC =18。
R 檢核審查 (Review & Reflect)
利用 △PAD ≅ △PBD (SAS 全等) 嚴格證明 PA = PB，幾何邏輯無懈可擊。
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【隨堂練功題】中垂線性質應用：
1. 直線 L 為線段 AB 的中垂線，P 為 L 上一點。若 PA ＝ 8 公分，則 PB ＝ 8 公分。
2. 在 △ABC 中，BC 的垂直平分線交 AC 於 D。若 AB ＝ 7，AC ＝ 9，則 △ABD 的周長 ＝ AB + (AD + BD) ＝ AB + AC ＝ 16。
3. 垂直平分線上任一點，到該線段「兩端點」的距離 相等。
偵探自我檢核：[ ]中垂線上任一點到線段兩端點等距離 (PA ＝ PB)。[ ]能利用 BD ＝ CD 將三角形周長折線化簡為直線長度。
觀念釐清小撇步：周長轉化題是會考必考：利用 BD = CD，將折線 (AD + BD) 拉直轉化為整條線段 AC！
任務 02
我的數學塗鴉筆記：反推尋找中心線：中垂線判別性質 🧭
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【偵探任務情境 02】中垂線逆定理判定 🎯
倒過來思考也可以喔！如果操場上有一個寶藏點 Q，我們測量發現它走到 A 點的距離剛好等於走到 B 點的距離（QA = QB），那我們可以 100% 斷定：這個寶藏點 Q「一定站在 AB 的垂直平分線上」！這稱為中垂線判別性質。請利用此性質找出線段的中垂線。
【偵探任務情境 03】角平分線到兩邊垂直距離相等 🎯
想像一個 V 字型的夾角走廊，小水豚正走在角平分線上。只要小水豚伸長雙手測量「到左邊牆壁與右邊牆壁的垂直距離」，會發現兩邊的距離永遠完全相等！在數學中：角平分線上任一點，到這個角的「兩邊之垂直距離相等」。如果 P 在角平分線上，P 到 OA 的垂直距離為 6，請問 P 到 OB 的垂直距離是多少？
👀 畫給你看 (100% 繁體中文情境圖解)
💡 小水豚看圖心得：
• 核心公式：若 P 在 ∠AOB 的平分線上，且 PD ⊥ OA、PE ⊥ OB，則 PD = PE
• 走廊正中央！走在角平分線上，伸出雙手量到兩邊牆壁的「垂直距離」，兩邊絕對一樣長！
💡 偵探白話筆記 (STAR 鷹架思考步驟) （點擊空格顯現答案）
S 尋找線索 (Search)
已知射線 OP 平分 ∠AOB，點 P 在射線上，PD ⊥ OA, PE ⊥ OB。
T 轉譯關係 (Translate)
依角平分線性質：垂直距離 PD = PE。
A 求解運算 (Act & Calculate)
PE = PD = 6。
【範例計算】Rt△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分 ∠BAC 交 BC 於 D，若 AB = 10, CD = 3，求 △ABD 面積：以 AB 為底，高就是 CD = 3，面積 = 10 × 32 =15。
